Розподіл Діріхле |
---|
![Multiple probability density functions for Dirichlet distributions on the 2-simplex.](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/74/Dirichlet.pdf/page1-550px-Dirichlet.pdf.jpg) |
Параметри | число категорій (ціле)
параметри концентрації, де ![{\displaystyle \alpha _{i}>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ca574e2543100c77034d89176082da023382a75) |
---|
Носій функції | where and ![{\displaystyle \sum _{i=1}^{K}x_{i}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/599e15e335fdf3eb6b0c1b38d0497f249ac90ecf) |
---|
Розподіл імовірностей | ![{\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {B} ({\boldsymbol {\alpha }})}}\prod _{i=1}^{K}x_{i}^{\alpha _{i}-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d392e761ac5e0ba745945da497d6e007a544778) де ![{\displaystyle \mathrm {B} ({\boldsymbol {\alpha }})={\frac {\prod _{i=1}^{K}\Gamma (\alpha _{i})}{\Gamma {\bigl (}\sum _{i=1}^{K}\alpha _{i}{\bigr )}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6ac043dd636f8f2bc32791fe3c5fef5ea6ada9e) де ![{\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}=(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{K})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed70eb38200336afb69b24eec04725d267be4078) |
---|
Середнє | ![{\displaystyle \operatorname {E} [X_{i}]={\frac {\alpha _{i}}{\sum _{k=1}^{K}\alpha _{k}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd8009b13d52a1e3ffb2066291d761e5157f6cdc)
![{\displaystyle \operatorname {E} [\ln X_{i}]=\psi (\alpha _{i})-\psi (\textstyle \sum _{k}\alpha _{k})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af11020481980cb1aa891045a0f07ebb172ccd3d) (див. Дигамма-функція) |
---|
Мода | ![{\displaystyle x_{i}={\frac {\alpha _{i}-1}{\sum _{k=1}^{K}\alpha _{k}-K}},\quad \alpha _{i}>1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02d9d044496b250cb7a816e88ccd012e9508e600) |
---|
Дисперсія | де і ![{\displaystyle \alpha _{0}=\sum _{i=1}^{K}\alpha _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4829cdc7d0f51e80a85a291d850c6e97be2e07f) |
---|
Ентропія | ![{\displaystyle H(X)=\log \mathrm {B} (\alpha )+(\alpha _{0}-K)\psi (\alpha _{0})-\sum _{j=1}^{K}(\alpha _{j}-1)\psi (\alpha _{j})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ede9d168f71c70b13869b6561bb79b984cbf0edb) при визначина як для варіації вище. |
---|
Твірна функція моментів (mgf) | {{{mgf}}} |
---|
Характеристична функція | {{{char}}} |
---|
У теорії імовірностей і математичній статистиці розподіл Діріхле (за іменем Йоганна Петера Густава Лежьона-Діріхле), позначають часто
— це сімейство безупинних багатовимірних імовірних розподілів невід’ємних дійсних чисел, параметризованих вектором
. Розподіл Діріхле є узагальненням Бета-розподілу на багатовимірний випадок. Тобто, його функція щільності повертає значення імовірності того, що імовірність кожного з K взаємновиключних подій дорівнює
за умови, що кожна подія спостерігалася
раз.
Функція щільності імовірності для розподілу Діріхле порядку K має вигляд:
![{\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{K};\alpha _{1},\dots ,\alpha _{K})={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha )}}\prod _{i=1}^{K}x_{i}^{\alpha _{i}-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7277ea5e4cbeae1dddb1dc9abb06a9983bf68dd2)
де
,
, i
.
Нехай
i
тоді
![{\displaystyle \mathrm {E} [X_{i}|\alpha ]={\frac {\alpha _{i}}{\alpha _{0}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9268306a6d650eae188cef124cec2333c6f844bb)
![{\displaystyle \mathrm {Var} [X_{i}|\alpha ]={\frac {\alpha _{i}(\alpha _{0}-\alpha _{i})}{\alpha _{0}^{2}(\alpha _{0}+1)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05926a31797da109170d3a06b593ab6697283501)
![{\displaystyle \mathrm {Cov} [X_{i}X_{j}|\alpha ]={\frac {-\alpha _{i}\alpha _{j}}{\alpha _{0}^{2}(\alpha _{0}+1)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/959e4a3ac4695f5e9afdb21e466f685e0ac9701e)
Модою розподілу є вектор
з
![{\displaystyle x_{i}={\frac {\alpha _{i}-1}{\alpha _{0}-K}},\quad \alpha _{i}>1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/998f3de9fcf1e667d9b3241bcf7fc21dfc5ceac5)
Розподіл Діріхле є сполученим апріорним розподілом до мультиноміального розподілу, а саме: якщо
![{\displaystyle \beta |X=(\beta _{1},\ldots ,\beta _{K})|X\sim \operatorname {Mult} (X),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c165d52f41f0cdbea8984b7229e6fa4a9da7f469)
де
- число входжень і у вибірку з n точок дискретного розподілу на {1, ..., K}, визначеного через X, то
![{\displaystyle X|\beta \sim \operatorname {Dir} (\alpha +\beta ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c610190c86a0f8e947cba775550650368f5134d1)
Цей зв'язок використовується в Байєсівській статистиці для того, щоб оцінити приховані параметри дискретного імовірносного розподілу
, маючи набір з n вибірок. Очевидно, якщо апріорний розподіл позначений як
, то
- це апостеріорний розподіл після серії спостережень з гістограмою
.
Якщо для
незалежні, то
![{\displaystyle V=\sum _{i=1}^{K}Y_{i}\sim \operatorname {Gamma} ({\textrm {shape}}=\sum _{i=1}^{K}\alpha _{i},{\textrm {scale}}=1),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c319e5ff05217d9928a57f2c012d636d27b428cf)
і
![{\displaystyle (X_{1},\ldots ,X_{K})=(Y_{1}/V,\ldots ,Y_{K}/V)\sim \operatorname {Dir} (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{K}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/725ed8f7530d854680d45dabfffb4f2e4fdec521)
Попри те, що Xі не є незалежними один від одного, вони можуть бути згенерованні з набору з
незалежних гама випадкових величин. Однак, тому що сума
губиться в процесі формування
, стає неможливо відновити початкові значення гамма-випадкових величин тільки за цими значеннями. Проте, завдяки тому, що працювати з незалежними випадковими величинами простіше, це перетворення параметрів може бути корисно при доведенні властивостей розподілу Діріхле.
Метод побудови випадкового вектора
для розподілу Діріхле розмірності K з параметрами
випливає безпосередньо з цього зв'язку. Спочатку одержимо K незалежних випадкових вибірок
з гамма-розподілів, кожен з який має щільність
![{\displaystyle {\frac {y_{i}^{\alpha _{i}-1}\;e^{-y_{i}}}{\Gamma (\alpha _{i})}},\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b544db329d28ea38cc3bc2f44d8c83ef7b8a7e56)
а потім покладемо
![{\displaystyle x_{i}=y_{i}/\sum _{j=1}^{K}y_{j}.\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/586b86e181d67d0f754e20cc5aff4f26d5b12486)
Як приклад використання розподілу Діріхле можна запропонувати задачу, у якій потрібно розрізати нитки (кожна початкової довжини 1.0) на K частин з різними довжинами так, щоб усі частини мали задану середню довжину, але з можливістю деякої варіації відносних довжин частин. Значення α/α0 визначають середні довжини частин нитки, що вийшли з розподілу. Дисперсія навколо середнього значення зворотньо пропорційна α0.
|
---|
| | | Дискретні одновимірні зі скінченним носієм |
|
---|
| Дискретні одновимірні з нескінченним носієм |
|
---|
| Неперервні одновимірні з носієм на обмеженому проміжку |
|
---|
| Неперервні одновимірні з носієм на напів-нескінченному проміжку |
|
---|
| Неперервні одновимірні з носієм на всій дійсній прямій |
|
---|
| Неперервні одновимірні з носієм змінного типу |
|
---|
| Змішані неперервно-дискретні одновимірні |
|
---|
| Багатовимірні (спільні) |
|
---|
| Напрямкові |
|
---|
| Вироджені та сингулярні[en] |
|
---|
| Сімейства |
|
---|
|