Підне́сення до сте́пеня — бінарна операція, записується як ${\displaystyle \ a^{n},}$ для основи степеня ${\displaystyle \ a}$ та показника степеня ${\displaystyle \ n,}$ в результаті застосування отримується степінь^[1].

Якщо n — натуральне число, піднесення до степеня відповідає n-кратному множенню:

${\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\times \cdots \times a} _{n}.}$

Подібно до того, як множення на ціле число відповідає багатократному додаванню:

${\displaystyle a\times n=\underbrace {a+\cdots +a} _{n}.}$.

Другий степінь називають інакше квадратом, третій степінь — кубом, четвертий — біквадратом. Першим степенем числа називають саме число, наприклад 7¹ = 7^*.

Поняття степеня використовувалося давньогрецьким математиком Евклідом для дослідження квадрату прямої^[2]. Архімед відкрив і довів закон для степенів — 10^a 10^b = 10^a+b, необхідний, щоб оперувати степенями числа 10^[3]. У IX столітті перський математик Аль-Хорезмі використовував терміни мал для квадрата і кахб для куба, які згодом ісламські математики представляли у вигляді математичної нотації як m і k, відповідно, як видно із роботи Аль Каласаді^[en] до XV століття^[4].

У кінці XVI століття Йост Бургі^[en] для степенів використовував римські літери^[5].

На початку XVII століття першу форму сучасного позначення степеня запропонував Рене Декарт у своїй праці під назвою La Géométrie; у книзі I і було введено відповідні позначення^[6].

Деякі математики (наприклад, Ісаак Ньютон) використовували експоненти лише для степенів, що більші за двійку, для позначення квадрату вони віддавали перевагу використовувати множення із повторенням. Таким чином вони б записали поліноми, наприклад, як ax + bxx + cx³ + d.

Ніколас Шуке^[en] використовував форму показникового запису в XV столітті, яку згодом використали Геріх Грамматеус^[en] і Міхаель Штифель у XVI столітті. Слово «експонента» виникло в 1544 році завдяки Міхаелю Штифелю^[7]. У XVI столітті Роберт Рекорд використовував терміни квадрат, куб, дзензизензик (четвертий степінь), сурсолід (п'ятий), дзензікуб (шостий), другий сурсолід (сьомий), і дзензизензензик (восьмий)^[8]. Також для назви 4-го степеня використовували слово біквадрат.

Інший синонім, що існував в історії, інволюція^[9], зараз вживають рідко і його не варто плутати із більш загальним значенням цього слова.

У 1748 році Леонард Ейлер написав:

...розглянемо експоненти або степені, в яких сама експонента (показник) є змінною. Очевидно, що величини такого типу не є алгебраїчними функціями, оскільки в них показних мав би бути константою^[10].

Із цим введенням у трансцендентні функції, Ейлер заклав початок сучасному введенню в натуральний логарифм, що є оберненою функцією для y = e^x.

При піднесені до степеня 0 будь-якого ненульового числа результатом буде 1^[11]:

${\displaystyle b^{0}=1}$

одне з пояснень — ${\displaystyle b^{n}/b^{n}=1}$

Однією з інтерпретацій для пояснення такого випадку є уявлення про порожній добуток.

Більш спірним випадком є випадок 0⁰ — нуль у нульовому степені.

Наведене нижче рівняння є справедливим для будь-якого довільного цілого числа n і не нульового x:

${\displaystyle x^{-n}={\frac {1}{x^{n}}}}$

Піднесення числа 0 до від'ємного показника степеня вважають або не визначеним, або визначеним як нескінченність ∞.

Приведена вище рівність може бути доведена з визначення, якщо продовжити значення показника у від'ємну область цілих чисел.

Для не нульових значень x і додатних n рекурентна рівність записана зверху може бути представлена як

${\displaystyle x^{n}={x^{n+1}}/{x},\quad n\geq 1.}$

Із визначення, що це рівняння є правдивим для всіх цілих чисел n і ненульових x, випливає, що

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{0}&={x^{1}}/{x}=1\\x^{-1}&={x^{0}}/{x}={1}/{x}\end{aligned}}}$

і в більш загальній формі для будь-якого ненульового x і будь-яких невід'ємних цілих n,

${\displaystyle x^{-n}={1}/{x^{n}}.}$

Видно, що це є вірним для всіх цілих чисел n.

Для невід'ємних цілих n і m степінь n^m є числом функцій із множини з m елементів у множину з n елементів (див. кардинальне експонування). Така функція може бути представлена як m-кортежів із множини n-елементів (або слово із m-літер, що належить алфавіту, в якому є n-літер).

05 = │ { } │ = 0	Не існує 5-елементного кортежу, який можна було б побудувати із пустої множини.
14 = │ { (1,1,1,1) } │ = 1	Існує один 4-елементний кортеж із множини з одного елемента.
23 = │ { (1,1,1), (1,1,2), (1,2,1), (1,2,2), (2,1,1), (2,1,2), (2,2,1), (2,2,2) } │ = 8	Існує вісім 3-елементних кортежів із множини з двох елементів.
32 = │ { (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3) } │ = 9	Існує дев'ять 2-елементних кортежів із множини з трьох елементів.
41 = │ { (1), (2), (3), (4) } │ = 4	Існує чотири 1-елементні кортежі із множини з чотирьох елементів.
50 = │ { () } │ = 1	Існує лише один 0-кортеж.

Наступні тотожності виконуються для всіх цілих показників, за умови що основа не є нулем:

${\displaystyle {\begin{aligned}b^{m+n}&=b^{m}\cdot b^{n}&\color {red}\overbrace {\color {black}b\cdot b\cdot \ldots \cdot b} ^{n}\cdot \color {blue}\overbrace {\color {black}b\cdot b\cdot \ldots \cdot b} ^{m}\color {black}=\overbrace {\color {black}b\cdot b\cdot \ldots \cdot b} ^{\color {green}m+n}\\(b^{m})^{n}&=b^{m\cdot n}&\color {blue}\underbrace {\overbrace {\color {black}b\cdot b\cdot \ldots \cdot b} ^{\color {red}n}\cdot \overbrace {\color {black}b\cdot b\cdot \ldots \cdot b} ^{\color {red}n}\cdot \ldots \cdot \overbrace {\color {black}b\cdot b\cdot \ldots \cdot b} ^{\color {red}n}} _{\color {blue}m}\\(b\cdot c)^{n}&=b^{n}\cdot c^{n}&\overbrace {(bc)\cdot (bc)\cdot \ldots \cdot (bc)} ^{n}=\overbrace {b\cdot b\ldots b} ^{n}\cdot \overbrace {c\cdot c\ldots c} ^{n}\\b^{n}:b^{m}&=b^{n-m}&{\frac {\overbrace {\color {red}b\cdot b\cdot \ldots \color {black}\cdot b} ^{\color {blue}n}}{\underbrace {\color {red}b\cdot b\cdot \ldots \color {black}\cdot b} _{\color {blue}m}}}\\({\frac {b}{c}})^{n}&={\frac {(b)^{n}}{(c)^{n}}}&\color {red}\underbrace {\color {black}{\frac {b}{c}}\cdot {\frac {b}{c}}\cdot \ldots \cdot {\frac {b}{c}}} _{\color {red}n}=\color {black}{\frac {b^{n}}{c^{n}}}\end{aligned}}}$

Операція піднесення до степеня не є комутативною. Як протилежність — операції додавання і множення комутативні.

Наприклад,

2 + 3 = 3 + 2 = 5 і 2 ⋅ 3 = 3 ⋅ 2 = 6,

але 2³ = 8, оскільки 3² = 9.

Операція піднесення до степеня також не є асоціативною.

Приводячи приклад із додаванням і множенням, які є асоціативними, маємо:

(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9 і

(2 ⋅ 3) ⋅ 4 = 2 ⋅ (3 ⋅ 4) = 24,

але 2³ на 4 дорівнює 8⁴ або 4096, в той час як 2 на 3⁴ дорівнює 2⁸¹ або 2417851639229258349412352.

Без дужок, які задають порядок дій, загальноприйнятим є порядок зверху вниз (тобто з асоціативністю справа наліво), а не знизу вгору^[12] (з асоціативністю зліва направо):

${\displaystyle b^{p^{q}}=b^{(p^{q})}\neq (b^{p})^{q}=b^{(p\cdot q)}=b^{p\cdot q}.}$

Google і WolframAlpha у своїх додатках слідують вищезгаданому правилу, але варто зазначити, що деякі комп'ютерні програми, як-от Microsoft Excel і MATLAB, виконують операції зліва (зверху вниз), тобто a^b^c розраховується як (a^b)^c.

У десятковій системі числення цілі степені числа 10 записуються у вигляді цифри 1, за якою слідує ряд нулів, що визначаються знаком і величиною показника. Наприклад, 10³ = 1000 і 10⁻⁴ = 0.0001.

Степені із основою 10 використовуються в науці як експоненційний запис для позначення дуже великих або дуже малих чисел. Наприклад, 299792458 м/с (швидкість світла у вакуумі в метрах на секунду) можна записати так: 2.99792458×10⁸ м/с, а потім апроксимовано до 2.998×10⁸ м/с.

Префікси одиниць вимірювання теж основані на степенях числа 10 і використовуються для описання малих чи великих чисел. Наприклад, префікс кіло- означає 10³ = 1000, тому кілометр становить 1000 м.

Перші від'ємні степені двійки вживаються дуже часто і мають особливі назви, такі як: половина і чверть.

Степені числа 2 з'являються в теорії множин, оскільки множина з n елементів має булеан, множина з усіх її підмножин, який має 2ⁿ елементів.

Цілі степені двійки важливі у комп'ютерній науці. Додатні цілі степені 2ⁿ задають максимальну можливу кількість значень для n-бітного цілого двійкового числа; наприклад, байт може приймати 2⁸ = 256 різних значень. Двійкова система числення дає змогу представляти будь-яке число як суму степенів 2: його можна записати як послідовність цифр 0 і 1, розділених двійковою крапкою, де 1 означає ті степені двійки, які мають з'являтися в сумі; показник степеня визначається номером позиції цієї 1: невід'ємні показники впорядковані одиницями зліва від точки (починаючи з 0), а від'ємні показники визначаються порядком в правій частині після коми.

Усі степені одиниці також дорівнюють одиниці: 1ⁿ = 1.

Якщо показник степеня є додатним числом, степінь нуля буде дорівнювати нулю: 0ⁿ = 0, де n > 0.

Якщо показник степеня є від'ємним, степінь нуля (0ⁿ, де n < 0) є невизначеною, оскільки було виконано ділення на нуль.

Якщо показник дорівнює нулю, в деяких випадках визначають це як 0⁰ = 1, в той час як в інших варіантах залишають значення невизначеним.

Якщо n є парним цілим, тоді (−1)ⁿ = 1.

Якщо n є непарним цілим числом, тоді (−1)ⁿ = −1.

Завдяки цій особливості, степені числа −1 зручно використовувати для вираження змінних послідовностей.

Границя числової послідовності степенів числа більшого за одиницю розходяться; іншими словами, послідовність зростає без обмеження:

bⁿ → ∞ при n → ∞ якщо b > 1

Це читається як «b у степені n прямує до +∞ при n, що прямує до нескінченності коли b є більшою за одиницю».

Степені чисел із абсолютним значенням, що менше одиниці прямують до нуля:

bⁿ → 0 при n → ∞ якщо |b| < 1

Будь-який степінь одиниці, як уже зазначалося завжди дорівнює одиниці:

bⁿ = 1 для всіх n якщо b = 1

Степені числа –1 чергують значення 1 і –1 при тому n змінюється будучи то парним то непарним числом, і таким чином не прямує ні до якої границі при збільшенні n.

Якщо b < –1, bⁿ, чергується між все більшими додатними і від'ємними числами при тому як n чергується між парними і непарними значеннями, і таким чином не прямує до жодної границі при зростанні n.

Якщо значення числа, що підноситься до степеня, змінюється при тому як прямує до 1 при показникові степеня що прямує до нескінченності, тоді існування границі і її значення не обов'язково підпадає у один випадків, що описано вище. Одним із важливих часткових випадків є

(1 + 1/n)ⁿ → e при n → ∞

Функції дійсних значень вигляду ${\displaystyle f(x)=cx^{n}}$ із ${\displaystyle c\neq 0}$ називають степеневими функціями. Коли ${\displaystyle n}$ є цілим числом і ${\displaystyle n\geq 1}$, існує дві основні різновидності: для парних і непарних ${\displaystyle n}$. В загальному випадку для ${\displaystyle c>0}$, якщо ${\displaystyle n}$ є парним числом із збільшенням ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)=cx^{n}}$ буде прямувати до нескінченності із знаком плюс, а також у напрямку нескінченності із знаком плюс при зменшенні ${\displaystyle x}$. Всі графіки із родини парних степеневих функцій мають загальну форму для ${\displaystyle y=cx^{2}}$, маючи більш плоску форму в середині із збільшенням ${\displaystyle n}$^[13]. Функції із таким видом симетрії (${\displaystyle f(-x)=f(x)}$) називаються парними функціями.

Коли ${\displaystyle n}$ є парним, ${\displaystyle f(x)}$ має асимптотичну поведінку яка змінюється від додатних ${\displaystyle x}$ до від'ємних ${\displaystyle x}$. Для ${\displaystyle c>0}$, ${\displaystyle f(x)=cx^{n}}$ також прямуватиме до нескінченності зі знаком плюс при збільшенні ${\displaystyle x}$, але при зменшенні ${\displaystyle x}$ прямуватиме до нескінченності із знаком мінус. Усі графіки для сімейства парних степеневих функцій мають загальний вигляд для ${\displaystyle y=cx^{3}}$, маючи більш плоску гладку форму в середині зі збільшенням ${\displaystyle n}$ і втрачають усю гладкість, перетворюючись у пряму лінію для ${\displaystyle n=1}$. Функції з таким видом симетрії (${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$) називаються непарними функціями.

Для ${\displaystyle c<0}$, асимптотична поведінка із протилежними знаками зберігається в усіх випадках^[13].

Коренем n-го степеня числа b є число x таке що xⁿ = b.

Якщо b є додатним дійсним числом і n є додатним цілим, тоді існує лише одне додатне дійсне значення, що є розв'язком рівняння xⁿ = b. Цей розв'язок називається головним коренем n-го степеня для b. Він позначається виразом ⁿ√b, де √   символ корінь; аналогічним чином, головний корінь можна записати як b^1/n. Наприклад: 4^1/2 = 2, 8^1/3 = 2.

Факт, що ${\displaystyle x=b^{1/n}}$ є розв'язком для ${\displaystyle x^{n}=b}$, випливає із наступного запису:

${\displaystyle x^{n}=\underbrace {b^{\frac {1}{n}}\times b^{\frac {1}{n}}\times \cdots \times b^{\frac {1}{n}}} _{n}=b^{\left({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n}}+\cdots +{\frac {1}{n}}\right)}=b^{\frac {n}{n}}=b^{1}=b.}$

Якщо n є парним, тоді xⁿ = b при умові, що b додатне число, має два дійсні розв'язки, якими є додатний і від'ємний корені n-го степеня, тобто, b^1/n > 0 і −(b^1/n) < 0. Якщо b від'ємне, то рівняння не має розв'язку у вигляді дійсного числа при парних n.

Якщо n непарне, тоді xⁿ = b має лише один дійсний розв'язок. Розв'язок буде b^1/n додатним, якщо b є додатним, і від'ємним, якщо b від'ємне.

Піднесення додатного дійсного числа b до раціонального степеня u/v, де u є цілим і v є додатним цілим, і при розгляданні лише головних коренів, є наступним

${\displaystyle b^{\frac {u}{v}}=\left(b^{u}\right)^{\frac {1}{v}}={\sqrt[{v}]{b^{u}}}=\left(b^{\frac {1}{v}}\right)^{u}=\left({\sqrt[{v}]{b}}\right)^{u}.}$

Піднесення від'ємного дійсного числа b до раціонального степеня u/v, де u/v є правильним дробом, дає результат, що є додатним дійсним числом, якщо u є парним, і таким чином v є непарним, оскільки тоді b^u є додатним; і дає від'ємний дійсний результат, якщо u і v обидва є непарними, оскільки тоді b^u є від'ємним. Випадок, коли u є непарним, а v є парним, не можна визначити в рамках дійсних чисел, оскільки не існує такого дійсного числа x, щоб x^2k = −1; при задаванні значення b^u/v у такому випадку необхідно використовувати уявну одиницю i.

Тотожності й властивості, вказані вище для цілих степенів, є вірними і для додатних дійсних чисел з нецілими показниками. Однак рівність

${\displaystyle (b^{r})^{s}=b^{r\cdot s}}$

не може послідовно поширюватися на випадки, коли b є від'ємним дійсним числом. Невірність цієї рівності є основою проблеми, що озвучується щодо степенів комплексних чисел.

Дійсне число є границею послідовності раціональних наближень. Якщо

${\displaystyle a=\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}}$

де ${\displaystyle a_{n}}$ — раціональні числа, то

${\displaystyle x^{a}=\lim _{n\rightarrow \infty }x^{a_{n}}}$.

Одна з важливих математичних констант e, що також називається числом Ейлера, приблизно дорівнює 2,718 і є основою натурального логарифму. Хоча піднесення у степінь числа e, по суті, можна трактувати як піднесення у степінь будь-якого іншого дійсного числа, такі степені, як виявилося, мають свої корисні і витончені властивості. Серед іншого, ці властивості дають змогу узагальнити степені e природним способом до інших типів степенів, як-от степені комплексних чисел або навіть матриць.

Як правило, нотація e^x зазвичай позначає узагальнене поняття експонування і називається показниковою функцією, exp(x), яку можна визначити багатьма способами^[en], наприклад таким:

${\displaystyle \exp(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}}$

Крім інших властивостей, exp задовольняє степеневе рівняння

${\displaystyle \exp(x+y)=\exp(x)\cdot \exp(y).}$

Показникова функція є визначеною для всіх цілих, дрібних, дійсних і комплексних значень змінної x. Експонента матриці добре визначена для квадратних матриць (у випадку яких експоненційне рівняння виконується, лише коли матриці x і y є комутативними) і є корисною для вирішення систем лінійних диференційних рівнянь.

При спрощенні виразів зі степенями можна використовувати декілька базових правил або законів, що називаються правилами дій зі степенями^[14]:

1. При перемножуванні двох або більше різних степенів з однаковими основами показники степеня додаються

${\displaystyle x^{a}\cdot x^{b}=x^{a+b}}$

2. При діленні одного степеня на інший з тією ж основою показник степеня знаменника віднімається від показника степеня чисельника.

${\displaystyle {\frac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m-n}}$

3. При піднесені числа в якомусь степені до іншого степеню показники перемножуються.

${\displaystyle \left(x^{a}\right)^{b}=x^{a\cdot b}}$

4. При піднесенні будь-якого числа (окрім нуля) в степінь із показником 0 одержуємо 1, так ${\displaystyle 3^{0}=1}$

5. При піднесенні числа до степеню з від'ємним цілим показником одержуємо величину, зворотну цьому числу з додатним степенем. Таким чином,

${\displaystyle 3^{-4}={\frac {1}{3^{4}}}}$.

Аналогічно,

${\displaystyle {\frac {1}{2^{-4}}}=2^{4}}$

6. При піднесенні числа до дробового степеню, знаменник цього дробу є степінь кореня з числа, а чисельник є показником степеня числа. Так,

${\displaystyle 8^{\frac {2}{3}}={\sqrt[{3}]{8^{2}}}=(2)^{2}=4}$

• Експонента
• Степенева функція
• Многочлен

У комбінаториці кількість можливих розміщень із повтореннями із n елементів по m дорівнює n^m[15]:

${\displaystyle {\hat {P}}(n,m)=n^{m}}$

Наприклад, із цифр 1, 2, 3, 4 можна скласти ${\displaystyle {\hat {P}}(4,3)=4^{3}=64}$ тризначних числа.

Вікісховище має мультимедійні дані за темою: Exponential function

• Експонента
• Логарифм
• Рівняння xʸ = yˣ
• Нуль у нульовому степені

• Завало С. Т. (1985). Курс алгебри. Київ: Вища школа. с. 503. (укр.)
• К. І. Швецов, Г. П. Бевз (1967). Довідник з елементарної математики. К. «Наукова думка»..

• Динамічні математичні моделі FIZMA.neT [Архівовано 13 вересня 2021 у Wayback Machine.]