Алгебра Кліфорда — це унітарна асоціативна алгебра, що містись і утворена за допомогою векторного простору V з квадратичною формою Q. Її можна розглядати як одне з можливих узагальнень комплексних чисел та кватерніонів.

Теорія алгебр Кліфорда тісно пов'язана з теорією квадратичних форм і ортогональних перетворень. Алгебра Кліффорда має важливі додатки в різних областях, в тому числі геометрії та теоретичної фізики. Вона названа на честь англійського математика Вільяма Кліфорда.

Якщо ${\displaystyle V}$ — векторний простір над полем ${\displaystyle K}$, та ${\displaystyle q:V\to K}$ — квадратична форма на ${\displaystyle V}$. Алгебра Кліфорда (асоційована із парою ${\displaystyle (V,q)}$) - це унітальна ${\displaystyle K}$-алгебра із одиницею ${\displaystyle T(V)/I(q),}$ де ${\displaystyle T(V)=\sum _{r=0}^{\infty }\otimes ^{r}V}$ - тензорна алгебра простору ${\displaystyle V}$ та ${\displaystyle I(q)}$ - двохсторонній ідеал, породжений елементами виду ${\displaystyle v\otimes v-q(v)\cdot 1}$ для усіх ${\displaystyle v\in V.}$ Позначається ${\displaystyle C(V,q)}$ або просто ${\displaystyle C(V).}$

Композиція мономорфізму ${\displaystyle i:V=\otimes ^{1}V\subset T(V)}$ та натуральної проекції ${\displaystyle p:T(V)\to C(V)}$ задає відображення ${\displaystyle j:V\hookrightarrow C(V).}$ Відтак, алгебра ${\displaystyle C(V)}$ породжується одиницею ${\displaystyle 1\in K}$ та векторним простором ${\displaystyle V}$; для усіх ${\displaystyle v\in V}$ при цьому справджується рівність ${\displaystyle v\cdot v=q(v)\cdot 1,}$ яку можна переписати у вигляді ${\displaystyle v\cdot w+w\cdot v=2q(v,w),}$ де ${\displaystyle 2q(v,w)=q(v+w)-q(v)-q(w)}$ є поляризацією квадратичної форми ${\displaystyle q.}$

Лінійне відображення ${\displaystyle \ell :V\to A}$ векторного простору ${\displaystyle V}$ в унітальну асоційовану ${\displaystyle K}$-алгебру ${\displaystyle A,}$ для якого справджуюється рівність ${\displaystyle \ell (v)\cdot \ell (v)=q(v)\cdot 1}$ для усіх ${\displaystyle v\in V,}$ єдиним чином продовжується до гомоморфізму ${\displaystyle K}$-алгебр ${\displaystyle {\tilde {\ell }}:C(V)\to A.}$ Алгебра ${\displaystyle C(V)}$ є єдиною асоціативною ${\displaystyle K}$-алгеброю, яка має дану властивість.

Якщо q = 0, тоді алгебра Кліфорда C(V,q) є зовнішньою алгеброю Λ(V). Для ненульових q існує канонічний лінійний ізоморфізм між Λ(V) та Cℓ(V,q). Що є ізоморфізмом векторних просторів, але з не однаковими операціями множення. Множення Кліфорда є багатшим за зовнішній добуток, оскільки враховує інформацію з q.

Алгебра Кліфорда Cℓ(V,Q) — унітарна асоціативна алгебра над K з лінійним відображенням i : V → Cℓ(V,Q) що задовольняє умові i(v)² = Q(v)1 для всіх v ∈ V, визначена наступною універсальною властивістю:

якщо задана асоціативна алгебра A над K та лінійне відображення j : V → A таке що j(v)² = Q(v)1 для всіх v ∈ V (де 1 означає одиницю в A),

тоді існує єдиний гомоморфізм алгебр(інші мови) f : Cℓ(V,Q) → A такий, що наступна діаграма є є комутативною (тобто, f o i = j):

${\displaystyle {\begin{matrix}V&\to &{\mathcal {C}}\ell (Q)\\\downarrow &\swarrow &\\A&&\end{matrix}}}$

Алгебра Кліфорда, як описано вище, завжди існує й може бути побудована так: у найзагальнішій алгебрі, що містить V, а саме в тензорній алгебрі T(V), виберемо фактор-кільце двосторонніх ідеалів I_Q, утворене всіма елементами виду

${\displaystyle v\otimes v-Q(v)1,\qquad \forall v\in V.}$

Тобто Cℓ(V,Q) = T(V)/I_Q.

Очевидно, що Cℓ(V,Q) містить V і задовольняє універсальній властивості, отже, є єдиною з точністю до ізоморфізму.

Якщо {e₁,…,e_n} є базисом в V, тоді набір добутків

${\displaystyle \{e_{i_{1}}\cdot e_{i_{2}}\cdot \ldots \cdot e_{i_{k}}:1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n,0\leq k\leq n\}}$

є базисом в Cℓ(V,Q). Порожній добуток (k = 0) визначимо як одиничний елемент. Для кожного значення k є число комбінацій з n по k базисних елементів, тому загальна розмірність алгебри Кліфорда

${\displaystyle \dim C\ell (V,Q)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}=2^{n}.}$

Виберемо тільки такі базиси, які ортогональні відповідно до Q:

${\displaystyle \langle e_{i},e_{j}\rangle =0\qquad i\neq j,}$

тобто:

${\displaystyle e_{i}e_{j}=-e_{j}e_{i}\qquad i\neq j.\,}$

Якщо характеристика поля не рівна 2, тоді ортогональний базис для V існує, і можна поширити квадратичну форму Q на Cℓ(V,Q), вимагаючи, щоб елементи ${\displaystyle e_{i_{1}}e_{i_{2}}\cdots e_{i_{k}}}$ були ортогональними, якщо відповідні {e_i} є ортогональними. Також визначимо:

${\displaystyle Q(e_{i_{1}}e_{i_{2}}\cdots e_{i_{k}})=Q(e_{i_{1}})Q(e_{i_{2}})\cdots Q(e_{i_{k}}).}$

Тобто, ортогональний базис V розширюється до ортогонального базиса Cℓ(V,Q). Квадратична форма визначена вище, насправді, буде незалежною від вибору базиса.

Найважливішими алгебрами Кліфорда є ті, що побудовані на дійсних чи комплексних векторних просторах з невиродженими квадратичними формами. Геометрична інтерпретація таких алгебр відома як геометрична алгебра^{[джерело?]}.

Невироджена квадратична форма дійсного векторного простору приводиться до діагональної форми:

${\displaystyle Q(v)=v_{1}^{2}+\cdots +v_{p}^{2}-v_{p+1}^{2}-\cdots -v_{p+q}^{2}}$

де n = p + q є розмірністю простору. Пара чисел (p, q) називається сигнатурою квадратичної форми. Такі дійсні векторні простори позначають R^p,q. Алгебра Кліфорда породжена R^p,q позначається Cℓ_p,q(R). Символ Cℓ_n(R) означає або Cℓ_n,0(R) або Cℓ_0,n(R).

Ортонормований базис {e_i} в R^p,q складається з p векторів з нормою +1 та q векторів з нормою −1. Алгебра Cℓ_p,q(R) тому матиме p векторів з квадратами +1 та q векторів з квадратами −1.

Зокрема Cℓ_0,0(R) природно ізоморфна до R, оскільки немає ненульових векторів. Cℓ_0,1(R) двовимірна алгебра утворена єдиним вектором e₁ з квадратом −1, і тому ізоморфна до C, поля комплексних чисел. Алгебра Cℓ_0,2(R) чотиривимірна алгебра утворена векторами {1, e₁, e₂, e₁e₂}. Останні три елементи мають квадрат −1 і є антикомутативними, тобто алгебра ізоморфна до кватерніонів H. Наступна алгебра Cℓ_0,3(R) є восьми-вимірною алгеброю, ізоморфною до прямої суми H ⊕ H, яку називають спліт-бікватерніонами.

Невироджена квадратична форма векторного векторного простору приводиться до діагональної форми:

${\displaystyle Q(z)=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+\cdots +z_{n}^{2}}$

де n = dim V, тобто є одна алгебра Кліфорда кожної розмірності. Позначається як Cℓ_n(C) і може бути отримана «комплексифікацією» алгебри Cℓ_p,q(R) де n = p + q:

${\displaystyle C\ell _{n}(\mathbb {C} )\cong C\ell _{p,q}(\mathbb {R} )\otimes \mathbb {C} \cong C\ell (\mathbb {C} ^{p+q},Q\otimes \mathbb {C} )}$.

де Q — дійсна квадратична форма сигнатури (p,q). Комплексифікація не залежить від сигнатури.

Перші декілька прикладів:

Cl₀(C) = C

Cl₁(C) = C ⊕ C

Cl₂(C) = M₂(C)

де M₂(C) — алгебра матриць 2×2 над C.

Довільна алгебра Cℓ_p,q(R) та Cℓ_n(C) є ізоморфною матричній алгебрі в R, C, чи H або прямій сумі двох таких алгебр.

• Розшарування Кліфорда

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — ISBN 5-8114-0552-9.(рос.)
• Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — ISBN 978-5-94057-685-3.(рос.)