Алгебра над кільцем — алгебрична структура з операціями додавання ${\displaystyle +}$, множення ${\displaystyle \times }$ та множення на скаляр ${\displaystyle \cdot }$, така що: якщо R — комутативне кільце, тоді R-алгеброю (тобто, алгеброю над кільцем R ) є R-модуль, що одночасно є кільцем в якому R-білінійне множення.

Формально ${\displaystyle \ (A,+,\times ,\cdot )}$ — є R-алгеброю, якщо:

${\displaystyle \ (A,+,\cdot )}$ — є R-модулем;

${\displaystyle \ (A,+,\times )}$ — є кільцем (в деяких авторів асоціативність не вимагається);

${\displaystyle r\cdot (x\times y)=(r\cdot x)\times y=x\times (r\cdot y)\qquad \forall \;r\in R;\;\;x,y\in A.}$

Пов'язані визначення:

• Якщо A є комутативним кільцем, тоді воно називається комутативною R-алгеброю.
• Якщо R є полем, тоді A називається алгеброю над полем.
• Алгебра з діленням — алгебра в якій можливе ділення. В такій алгебрі не існує дільників нуля.
• Нормована алгебра — це алгебра над полем з нормою ||·||, що задовільняє умову: ${\displaystyle \|xy\|=\|x\|\|y\|\quad \forall x,y\in A.}$

Алгебра над полем за визначенням є векторним простором над ${\displaystyle R}$, тобто має базис. Це дає можливість будувати алгебри над полем по базису, для цього достатньо задати таблицю множення базисних елементів. Такий підхід зручний для скінченновимірних алгебр.

• Алгебри над кільцем:
  • довільне кільце можна розглядати як ${\displaystyle \mathbb {Z} }$—алгебру, оскільки множення на ціле число можна звести до додавання та віднімання,
  • алгебри квадратних матриць,
  • алгебри многочленів
• Алгебри над полем дійсних чисел:
  • Комплексні числа
  • Подвійні числа
  • Дуальні числа
  • Кватерніони
  • Октоніони — не асоціативна алгебра.

• Алгебра над полем
• Алгебраїчна алгебра
• Комутативна алгебра

• Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — ISBN 978-5-94057-685-3.(рос.)