Симплексний метод планування експериментів

У практиці часто доводиться вирішувати завдання оптимізації складу багатокомпонентної суміші — наприклад, визначення оптимального гранулометричного складу вихідної сировини збагачувальних апаратів, складу композиційних реагентів в ряді технологічних процесів і т. ін.

У цих випадках застосуємо метод активного планування експерименту для дослідження систем склад-властивість. Так як сума часток всіх компонентів, що складають суміш, дорівнює одиниці, то факторний простір може бути представлено правильним симплексом, для трьох компонентів правильним трикутником, для чотирьох — правильним тетраедром і т. д. Властивості складу досліджуються в наперед заданих точках симплекса, які утворюють так звану симплексну решітку.

У разі трикомпонентної суміші кожній точці трикутної діаграми відповідає один, цілком певний склад, а кожному складу відповідає одна точка на діаграмі. У кожній вершині трикутної діаграми вміст одного компонента становить 100 %. На протилежній цій вершині стороні вміст цього компонента дорівнює нулю. Сторони трикутника відповідають бінарним сумішам (див. рис.1).

Симплекс-гратчасте планування експериментів. Пропорції суміші можуть бути представлені трикутними діаграмами. При цьому сам план експерименту залежить від вибору розташування точок варіативних факторів. Одним зі зручних способів їх розташування є симплекс-центроїдний план. Наприклад, для 3-х факторів симплекс-центроїдний план складається з точок (вершини, центри сторін, центр трикутника). Властивості складу суміші досліджуються в наперед заданих точках симплекса, які утворюють так звану симплексну ґратку.

Розглянемо побудову концентраційного трикутника Гіббса, використовуваного при розробці та аналізі плану експерименту. З кожної вершини правильного трикутного симплекса проведемо висоту, розділимо кожну з них, наприклад, на десять частин і, провівши через отримані ділення прямі, паралельні відповідним сторонам трикутника, отримаємо трикутну сітку (див. рис. 2). Відлік ведемо від точок перетину висот і сторін трикутника. Кожна точка, що лежить в межах трикутного симплекса характеризується трьома координатами (вмістом компонентів А, В і С). Наприклад, точці а на рис. 2 відповідає такий вміст компонентів: А = 0,2; В = 0,5; С = 0,3.

Як правило, поверхні відгуку в багатокомпонентних системах мають вельми складний характер. Для адекватного опису таких поверхонь використовують поліноми високих ступенів. У разі трикомпонентних систем найбільш часто застосовуються плани другого і третього порядку, з розробкою квадратних і кубічних моделей відповідно. Розташування дослідів на симплексі для цих моделей представлено на рис. 3.

На рис. 4 а. представлений первісний контурний графік поверхні відгуку у вигляді контурних ліній рівних значень проєкцій цільової функції Р на трикомпонентний симплекс. Разом з тим його можна одержати і як сукупність забарвлених зон, які відповідають певному інтервалу зміни цільової функції (див. рис. 4 б). Чорною крапкою на обох контурних графіках позначено оптимальне співвідношення варіюючих величин, що забезпечує максимальне значення функції відгуку.

• Планування експерименту

• Сергєєв П. В., Білецький В. С. Комп'ютерне моделювання технологічних процесів переробки корисних копалин (практикум) — Маріуполь: Східний видавничий дім, 2016. — 119 с. ISBN 978—966 — 317—258– 3
• Зедгинидзе И. Г. Планирование эксперимента для исследования многокомпонентных систем. — М.: Наука, 1976. — 296 с.
• Красовский Г. И., Филаретов Г. Ф. Планирование эксперимента. — Минск: Изд-во БГУ, 1982. — 302 с.
• Design DB [Архівовано 23 грудня 2015 у Wayback Machine.]: A database of combinatorial, statistical, experimental block designs (англ.)
• Introduction to Factorial Experimental Designs (The Methodology Center, Penn State University) [Архівовано 19 грудня 2014 у Wayback Machine.] (англ.)
• Володимир Білецький. СИМПЛЕКС-ЦЕНТРОЇДНЕ ПЛАНУВАННЯ ЕКСПЕРИМЕНТІВ ДЛЯ ОТРИМАННЯ МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ СУМІШЕЙ ТИПУ «СКЛАД-ВЛАСТИВІСТЬ» // ДОНЕЦЬКИЙ ВІСНИК НАУКОВОГО ТОВАРИСТВА ІМ. ШЕВЧЕНКА. — Т. 54. — ХАРКІВ-ЗАПОРІЖЖЯ, 2025. — 177 С. С. 136—145.