Простір Соболєва — функціональний простір, що складається з функцій із простору Лебега (${\displaystyle L_{p}(Q)}$), які мають слабкі похідні заданого порядку з ${\displaystyle L_{p}(Q)}$. При ${\displaystyle 1\leqslant p\leqslant \infty }$ простори Соболєва є банаховими просторами, а при ${\displaystyle p=2}$ — гільбертовими просторами. Для гільбертових просторів Соболєва також прийнято позначення ${\displaystyle H^{k}(Q)}$.

Для області ${\displaystyle Q\subset R^{n}}$ норма у просторі Соболєва ${\displaystyle W_{p}^{k}(Q)}$ порядку ${\displaystyle k\geqslant 1}$ та підсумованих зі степенем ${\displaystyle 1\leqslant p<\infty }$ вводиться за такою формою:

${\displaystyle \|u\|_{W_{p}^{k}(Q)}=\left(\sum \limits _{\alpha \leqslant k}\int \limits _{Q}|D^{\alpha }u|^{p}dx\right)^{1/p},}$

а при ${\displaystyle p=\infty }$ норма виглядає так:

${\displaystyle \|u\|_{W_{\infty }^{k}(Q)}=\sum \limits _{\alpha \leqslant k}\mathrm {ess} \sup |D^{\alpha }u|,}$

де ${\displaystyle \alpha }$ — це мультиіндекс, а операція ${\displaystyle D^{\alpha }}$ є слабка похідна по мультиіндексу.

Простори Соболєва були введені радянським математиком Сергієм Львовичем Соболєвим та потім названі у його честь.

Ідея про узагальнення розв'язків диференціальних рівнянь з частинними похідними починає проникати в математичну фізику в 20-х роках XX ст. З одного боку, необхідність в розширенні класів функцій виникає в багатовимірних варіаційних задачах, а з іншого, — при дослідженні хвильового рівняння і рівнянь гідродинаміки. В цих задачах класи неперервних функцій були недостатніми.

В роботі Фрідріхса^[ru] 1934^[ru][1] при дослідженні мінімуму квадратичного функціоналу були введені класи функцій, які збігаються з просторами Соболєва ${\displaystyle H_{0}^{1}(Q)}$ — просторами Соболєва першого порядку, які мають нульовий слід на границі області. Проте в цих роботах (так званих прямих варіаційних задачах) ще не було розуміння того, що простори Соболєва другого порядку є класом коректності для еліптичних крайових задач, відповідним варіаційним задачам. В 1936 році в основоположній роботі Соболєва^[2] вводяться узагальнені розв'язки основних видів лінійних рівнянь з частинними похідними другого порядку (хвильове рівняння, рівняння Лапласа і рівняння теплопровідності) з класів функцій, які потім були названі просторами Соболєва. В цих роботах узагальнені розв'язки розуміються як ліміти класичних рівнянь, до того ж ліміти розглядаються в класах інтегровних функцій. Таке розширення понять дає змогу досліджувати задачі з доволі загальними правими частинами і коефіцієнтами рівнянь.

У 1930-х роках починається всестороннє дослідження просторів Соболєва. Найбільш важливими були роботи Реліха^[ru] про компактність вкладання (теорема Реліха — Гордінга) і теореми про вкладання (теореми Соболєва і Соболєва — Кондрашова). Ці теореми дали змогу побудувати узагальнені розв'язки для багатьох задач математичної фізики, а також встановити зв'язок з класами неперервних функцій.

У 1940-х роках Ладиженською було запропоновано визначати узагальнені розв'язки за допомогою інтегральних тотожностей для функцій з просторів Соболєва. Використання інтегральних тотожностей виявилося дуже зручним для дослідження гладкості розв'язків рівнянь з частинними похідними. У наш час визначення узагальнених рішень через інтегральні тотожності є стандартним методом постанови задач.

Простори Соболєва мають принципове значення не лише у теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними, але ще і в варіаційних задачах, теорії функцій, теорії наближень, методах обчислення, теорії керування та багатьох інших розділах аналізу і його додатків.

• Для будь-якої області ${\displaystyle Q'\subset Q}$ з ${\displaystyle f\in W_{p}^{k}(Q)}$ випливає, що ${\displaystyle f\in W_{p}^{k}(Q')}$.
• Якщо ${\displaystyle f\in W_{p}^{k}(Q)}$ і ${\displaystyle a\in C^{k}({\overline {Q}})}$, то ${\displaystyle af\in W_{p}^{k}(Q)}$.
• Якщо ${\displaystyle f\in W_{p}^{k}(Q)}$ фінітна в ${\displaystyle Q}$, то продовження цієї функції нулем належить ${\displaystyle W_{p}^{k}(Q')}$ для будь-якої ${\displaystyle Q\subset Q'}$.
• Нехай ${\displaystyle y=y(x)}$ є гладке і взаємно однозначне відображення області ${\displaystyle Q}$ на область ${\displaystyle \Omega }$ і ${\displaystyle F\in W_{p}^{k}(\Omega )}$, тоді функція ${\displaystyle f(x)=F(y(x))}$ належить простору ${\displaystyle W_{p}^{k}(Q)}$.
• Простори Соболєва ${\displaystyle W_{p}^{k}(Q)}$ є сепарабельними просторами.
• Якщо межа області ${\displaystyle Q}$ задовольняє умові Ліпшица, то множина ${\displaystyle C^{\infty }({\overline {Q}})}$ щільна в ${\displaystyle W_{p}^{k}(Q)}$.
• Нехай ${\displaystyle u,v\in W_{p}^{k}(Q)}$, де ${\displaystyle Q}$ — обмежена область в ${\displaystyle R^{n}}$, зіркова відносно деякого шару. Якщо ${\displaystyle kp>n}$, то їх поточковий добуток ${\displaystyle uv}$, визначений майже усюди в ${\displaystyle Q}$, належить простору ${\displaystyle W_{p}^{k}(Q)}$, більш того, існує додатна константа ${\displaystyle C}$, яка залежить лише від ${\displaystyle k,n,p}$ така, що

${\displaystyle \|uv\|_{W_{p}^{k}}\leq C\|u\|_{W_{p}^{k}}\|v\|_{W_{p}^{k}}}$, іншими словами, ${\displaystyle W_{p}^{k}(Q)}$ є комутативною банаховую алгеброю, добуток в котрій узгоджений з нормою ${\displaystyle \|u\|_{W_{p}^{k}(Q)^{*}}=C\|u\|_{W_{p}^{k}(Q)}}$.

• Простори ${\displaystyle W_{p}^{k}(Q)}$ при ${\displaystyle 1<p<\infty }$ є рефлексивними просторами.
• Простори ${\displaystyle W_{2}^{k}(Q)=H^{k}(Q)}$ є гільбертовими просторами.

В крайових задачах для диференціальних рівнянь в часткових похідних важливу роль грають простори функцій із простора Соболєва, які мають нульові граничні умови. Ці простори позначаються через ${\displaystyle H_{0}^{k}(Q)}$ і вводяться як замикання множини ${\displaystyle C_{0}^{\infty }(Q)}$ по нормі простору ${\displaystyle H^{k}(Q)}$, де ${\displaystyle C_{0}^{\infty }(Q)}$ є множина фінітних в ${\displaystyle Q}$ нескінченно диференційованих функцій.

Простори ${\displaystyle H_{0}^{k}(Q)}$ є замкнутими підпросторами в ${\displaystyle H^{k}(Q)}$. За наявністю визначеної гладкості границі області ${\displaystyle Q}$ цей простір збігається з множиною функцій із ${\displaystyle H^{k}(Q)}$, які мають нульовий слід на межі області ${\displaystyle Q}$ и нульовий слід усіх узагальнених похідних аж до ${\displaystyle k-1}$-го порядку.

Простори Соболєва ${\displaystyle H^{s}(R^{n})}$ можна визначити за допомогою перетворення Фур'є. Для будь-якої функції ${\displaystyle f(x)\in L_{2}(R^{n})}$ визначено перетворення Фур'є ${\displaystyle {\hat {f}}(\omega )={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-ix\cdot \omega }\,dx}$, при цьому, ${\displaystyle {\hat {f}}(\omega )\in L_{2}(R^{n})}$. Простір Соболєва ${\displaystyle H^{s}(R^{n})}$ визначається таким чином:

${\displaystyle H^{s}(R^{n})=\{f\in L_{2}(R^{n}):(1+|\omega |^{2})^{s/2}{\hat {f}}(\omega )\in L_{2}(R^{n})\}}$.

Нехай ${\displaystyle T^{n}}$ — ${\displaystyle n}$-мірний тор. Простір Соболєва на торі ${\displaystyle T^{n}}$, тобто ${\displaystyle 2\pi }$-періодичних за всіма змінними функцій, можна визначити за допомогою багатовимірних рядів Фур'є:

${\displaystyle H^{k}(T^{n})=\{f\in L^{2}(T^{n}):\sum \limits _{m_{1},\dots ,m_{n}=-\infty }^{\infty }(1+m_{1}^{2k}+m_{2}^{2k}+\dots +m_{n}^{2k})|f_{m_{1}m_{2}\dots m_{n}}|^{2}<\infty \}}$.

Для того щоб не було плутанини, нецілочисельне k будемо позначати як s, тобто ${\displaystyle W^{s,p}}$ або ${\displaystyle H^{s}}$.

У випадку 0<s<1 простір ${\displaystyle W^{s,p}}$ складається з функцій ${\displaystyle f\in L_{p}(Q)}$, ${\displaystyle Q\subset R^{n}}$ таких, що

${\displaystyle \|f\|_{W^{s,p}}=\left(\|f\|_{L_{p}(Q)}^{p}+\int _{Q}{\frac {|f(x)-f(y)|^{p}}{|x-y|^{n+ps}}}dxdy\right)^{1/p}.}$

Для нецілого s>1 покладемо ${\displaystyle s=[s]+\sigma }$, де ${\displaystyle [s]}$ — ціла частина s. Тоді ${\displaystyle W^{s,p}(Q)}$ складається з елементів ${\displaystyle W^{[s],p}(Q)}$ таких, що ${\displaystyle D^{\alpha }f\in W^{\sigma ,p}(Q)}$ для ${\displaystyle |\alpha |=[s]}$ з нормою

${\displaystyle \|f\|_{W^{s,p}}=\left(\|f\|_{W^{[s],p}(Q)}^{p}+\sum \limits _{|\alpha |=[s]}\|D^{\alpha }f\|_{W^{\sigma ,p}(Q)}^{p}\right)^{1/p}.}$

При розгляді узагальнених рішень диференціальних рівнянь з частинними похідними природним чином виникає простори Соболєва від'ємного порядку. Простір ${\displaystyle H^{-k}(Q)}$ визначається за формулою:

${\displaystyle H^{-k}(Q)=\left(H_{0}^{k}(Q)\right)'}$

де штрих означає сполучений простір. При цьому отримаємо, що простори Соболєва від'ємного порядку представляють собою простір узагальнених функцій. Так, наприклад, простір ${\displaystyle H^{-1}(-1,1)}$ містить ${\displaystyle \delta }$-функцію Дірака.

Припускаючи, що межа області ${\displaystyle Q\subset R^{n}}$ задовольняє достатнім умовам гладкості, мають місце такі теореми вкладання.

Якщо ${\displaystyle k+n/p<s}$, то має місце неперервне вкладення

${\displaystyle W_{p}^{s}(Q)\subset C^{k}({\overline {Q}})}$.

Тут ${\displaystyle k}$ є цілим і невід'ємним, а ${\displaystyle s}$ може бути і дробовим (простори Соболєва дробового порядку). Ця теорема відіграє важливу роль у теорії функціональних просторів і диференціальних рівнянь з частинними похідними.

Нехай область ${\displaystyle Q}$ обмежена, ${\displaystyle s_{1}>s_{2}}$, ${\displaystyle 1<p_{1},p_{2}<\infty }$ і ${\displaystyle n(1/p_{1}-1/p_{2})<s_{1}-s_{2}}$, тоді: вкладання ${\displaystyle W_{p_{1}}^{s_{1}}(Q)\subset W_{p_{2}}^{s_{2}}}$ цілком неперервно.

За допомогою теорем про компактність вкладання просторів Соболєва доводяться чимало теорем існування диференціальних рівнянь з частинними похідними.

Простори Соболєва мають істотні відміни від просторів неперервно диференційованих функцій.

Нехай ${\displaystyle Q=\{x\in R^{2}:|x|<1/2\}}$ — коло на площині. Функція ${\displaystyle u(x)=\ln |\ln |x||}$ належить простору ${\displaystyle H^{1}(Q)}$, але має розрив другого роду в точці ${\displaystyle x=0}$.

Функції з простору ${\displaystyle H^{1}(a,b)}$ є неперервними. Для будь-яких двох функцій з простору ${\displaystyle H^{1}(a,b)}$ добуток цих функцій також належить ${\displaystyle H^{1}(a,b)}$. Тому простір Соболєва першого порядку на відрізку є банаховою алгеброю.

• Теорема Трудінгера

• Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике, М.: Наука, 1988
• Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.
• R. A. Adams, J. J. F. Fournier, 2003. Sobolev Spaces. Academic Press.
• Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976