Алгебрична структура → Теорія груп Теорія груп
Основні поняття Підгрупа Нормальна підгрупа Комутант Фактор-група Гомоморфізм груп (Напів-)прямий добуток Пряма сума[en]
Алгебричні властивості Комутативна група Циклічна група Впорядкована група Група перетворень Розв'язна група
Скінченні групи Класифікація простих скінченних груп Скінченна циклічна група Cp Скінченна p-група Теорема Лагранжа Теореми Силова Симетрична група Sn Діедрична група Dn Знакозмінна група An 4-група Кляйна PSL(2,7) Групи Матьє M11 M12 M22 M23 M24 Групи Конвея Co1 Co2 Co3 Групи Янко J1 J2 J3 J4 Групи Фішера F22 F23 F24 Група чорної скриньки Монстр (М)
Топологічні групи Група Лі Загальна лінійна група GL(n) Спеціальна лінійна група SL(n) Ортогональна група O(n) Спеціальна ортогональна група SO(n) Унітарна група U(n) Спеціальна унітарна група SU(n) Симплектична група Sp(n) Прості Групи Лі G₂ F₄ E₆ E₇ E₈ U(1) Група Лоренца Група Пуанкаре Група кватерніона
п о р

Симетрична група множини X — це група всіх перестановок X (тобто бієкцій X →X) щодо операції композиції.

Симетрична група множини X позначається S(X). Якщо X = {1, 2,…, n}, то S(X) позначається S_n.

Нейтральним елементом в симетричній групі є тотожна перестановка ${\displaystyle id}$, тобто тотожне відображення:

${\displaystyle id(x)=x}$ для всіх x з X.

Порядком групи S_n (тобто кількістю її елементів) є n! (n-факторіал).

${\displaystyle Ord(S_{n})=n!}$

Будь-яка група ${\displaystyle (G,\cdot )}$ ізоморфна деякій підгрупі групи перестановок елементів ${\displaystyle G}$.

S₀ та S₁

Групи з одного елементу.

S₂

Група з 2 елементів, циклічна, а отже і абелева.

S₃

Перша неабелева симетрична група. Ізоморфна діедральній групі порядку 6.

S₄

Ізоморфна групі поворотів куба.

S₅

Є групою Галуа для рівняння п'ятого степеня.

• При ${\displaystyle n\geq 3}$ симетрична група S_n некомутативна.
• При ${\displaystyle n\geq 5}$ симетрична група S_n є нерозв'язною.

• Група чорної скриньки
• Обчислювальна теорія груп

• (укр.) Гаврилків В. М. Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.

• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)
• Джозеф Ротман^[en]. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — ISBN 978-0387942858.(англ.)