Біраціональна геометрія — це розділ алгебричної геометрії, основним завданням якого є класифікація алгебричних многовидів з точністю до біраціональної еквівалентності^[1]. Зводиться до вивчення відображень, задаваних раціональними функціями, а не многочленами. Відображення може бути не визначеним у деяких точках, які є полюсами раціональної функції.

Раціональне відображення одного (незвідного^[en]) многовиду X в інший многовид Y (записується як пунктирна стрілка X ⇢ Y) визначається як морфізм з непорожньої відкритої підмножини U многовиду X в Y. За визначенням топології Зариського, використовуваної в алгебричній геометрії, непорожня відкрита підмножина U є завжди доповненням підмножини X меншої розмірності. Конкретно, раціональне відображення можна записати в координатах з використанням раціональних функцій.

Біраціональне відображення із X в Y — це раціональне відображення f: X ⇢ Y таке, що існує раціональне відображення Y ⇢ X, обернене до f. Біраціональне відображення породжує ізоморфізм непорожньої відкритої підмножини X у непорожній відкритій підмножині Y. У цьому випадку кажуть, що X і Y біраціонально еквівалентні. В алгебричних термінах два многовиди над полем k біраціонально еквівалентні тоді і тільки тоді, коли їхні поля функций^[en] ізоморфні як розширення поля k.

Особливий випадок — біраціональний морфізм f: X → Y, що означає морфізм, який є біраціональним. Тоді f визначена на всьому X, але її зворотна може бути визначена не на всьому Y. Зазвичай це трапляється, коли біраціональний морфізм стискає деякі підмноговиди X у точки в Y.

Кажуть, що многовид X раціональний^[en], якщо він раціонально еквівалентний афінному простору (або, еквівалентно, проєктивному простору) тієї ж розмірності. Раціональність є цілком природною властивістю — вона означає, що X без деякої підмножини меншої розмірності можна ототожнити з афінним простором без деякої підмножини меншої розмірності. Наприклад, коло, задане рівнянням x² + y² — 1 = 0, є раціональною кривою, оскільки формули

${\displaystyle x={\frac {2\,t}{1+t^{2}}}}$

${\displaystyle y={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\,,}$

визначають біраціональне відображення прямої в коло. (Якщо підставляти замість t раціональні числа, одержимо піфагорові трійки.) Зворотне відображення переводить (x,y) в (1 − y)/x.

Загальніше, гладка квадратична (степеня 2) гіперповерхня X будь-якої розмірності n є раціональною через стереографічну проєкцію (для квадратичного многовиду X над полем k має передбачатися, що він має k-раціональну точку. Це виконується автоматично, якщо k алгебрично замкнуте.). Щоб визначити стереографічну проєкцію, припустимо, що p — точка в X. Тоді біраціональне відображення з X у проєктивний простір Pⁿ прямих, що проходять через p, задається відображенням точки q в X у пряму, що проходить через p і q. Це відображення є біраціональною еквівалентністю, але не ізоморфізмом многовиду, оскільки воно не визначене при q = p (і зворотне відображення не визначене для прямих, що проходять через p і лежать в X).

Будь-який алгебричний многовид біраціонально еквівалентний проєктивному многовиду (лема Чжоу^[en]). Отже, для біраціональної класифікації достатньо працювати лише з проєктивними многовидами, і це зазвичай найзручніший вибір.

Значно глибше, за теоремою Хіронаки про розв'язання особливих точок^[en] — над полем характеристики 0 (такому, як комплексні числа) будь-який многовид є біраціонально еквівалентним гладкому^[en] проєктивному многовиду. З урахуванням цього, достатньо класифікувати гладкі проєктивні многовиди з точністю до біраціональної еквівалентності.

У розмірності 1, якщо дві гладкі проєктні криві біраціонально еквівалентні, вони ізоморфні. Однак це не так у розмірності 2 і вище через конструкцію роздуття. При роздутті будь-який гладкий проєктивний многовид розмірності 2 і вище біраціонально еквівалентний нескінченному числу «більших» многовидів, наприклад, з більшими числами Бетті.

Це приводить до ідеї мінімальних моделей — чи існує єдиний найпростіший многовид у кожному класі рацінальної еквівалентності? Сучасне визначення мінімальної моделі — проєктивний многовид ${\displaystyle X}$ мінімальний, якщо канонічне лінійне розшарування^[en] ${\displaystyle K_{X}}$ має невід'ємний степінь на будь-якій кривій в ${\displaystyle X}$. Іншими словами, ${\displaystyle K_{X}}$ є неф-розшаруванням^[en]. Легко перевірити, що роздуті многовиди ніколи не бувають мінімальними.

Ця ідея добре працює для алгебричних поверхонь (многовидів розмірності 2). У сучасних термінах центральним результатом італійської школи алгебричної геометрії 1890—1910 років, частиною класифікації, став факт, що будь-яка поверхня ${\displaystyle X}$ біраціонально еквівалентна або добутку ${\displaystyle {\boldsymbol {P}}^{1}\times C}$ для деякої кривої ${\displaystyle C}$, або мінімальної поверхні ${\displaystyle Y}$^[2]. Ці два випадки взаємно виключають один одного і ${\displaystyle Y}$ унікальна, якщо існує. Якщо ${\displaystyle Y}$ існує, її називають мінімальною моделлю поверхні ${\displaystyle X}$.

Перш за все, не цілком зрозуміло, як показати, що існує якась нераціональна алгебрична поверхня. Для того, щоб це довести, потрібно використати деякі інваріанти алгебричних многовидів.

Один корисний набір біраціональних інваріантів — плюрироди^[en]. Канонічне розшаровання^[en] гладкого многовиду ${\displaystyle X}$ розмірності ${\displaystyle n}$ — це лінійне розшаровання^[en] ${\displaystyle n}$-форма ${\displaystyle K_{X}=\Omega ^{n}}$, яке є ${\displaystyle n}$-им зовнішнім степенем канонічного розшаровання^[en] многовиду X. Для цілого числа ${\displaystyle d}$, ${\displaystyle d}$-й тензорний степінь ${\displaystyle K_{X}}$ знову є лінійним розшарованням. Для ${\displaystyle d\geq 0}$ векторний простір глобальних перетинів ${\displaystyle H^{0}(X,K_{X}^{d})}$ має чудову властивість, що біраціональне відображення ${\displaystyle f}$: ${\displaystyle d}$${\displaystyle X}$ ⇢ ${\displaystyle Y}$ між гладкими проєктивними многовидами породжує ізоморфізм ${\displaystyle H^{0}(X,K_{X}^{d})}$ ≅${\displaystyle H^{0}(Y,K_{Y}^{d})}$^[3].

Для d ≥ 0 визначимо d-ий плюрирод P_d як розмірність векторного простору H⁰(X, K_X^d). Тоді плюрироди є біраціональними інваріантами гладких проєктивних многовидів. Зокрема, якщо який-небудь плюрирод P_d при d>0 не дорівнює нулю, то X не є раціональним многовидом.

Фундаментальним біраціональним інваріантом є розмірність Кодайри^[en], яка вимірює зростання плюриродів P_d при d, що прямує до нескінченності. Розмірність Кодайри ділить всі многовиди розмірності n на n+2 типи з розмірностями Кодайри -∞, 0, 1, …, n. Цей інваріант показує складність многовиду, при цьому проєктивний простір має розмірність Кодайри −∞. Найскладніші многовиди — це ті, у яких розмірність Кодайри збігається з розмірністю простору n, і ці многовиди мають назву многовиди загального типу^[en].

Загальніше, для будь-якого натурального прямого доданка E(Ω¹) r-го тензорного степеня кодотичного пучка Ω¹ з r ≥ 0 векторний простір глобальних перетинів H⁰(X, E(Ω¹)) є біраціональним інваріантом для гладких проєктивних многовидів. Зокрема, числа Годжа h^r,0 = dim H⁰(X, Ω^r) є біраціональними інваріантами X. (Більшість інших чисел Годжа h^{p, q} не є біраціональними інваріантами, що показується роздуттям.)

Фундаментальна група π₁(X) є біраціональним інваріантом для гладких комплексних проєктивних многовидів.

«Теорема про слабку факторизацію», яку довели Абрамович, Кару, Мацукі і Влодарчик^[4], стверджує, що будь-яке біраціональне відображення між двома гладкими комплексними проєктивними многовидами можна розкласти на скінченне число роздуттів або здуттів гладких підмноговидів. Це важливо знати, однак залишається складною задача визначення, чи є два гладких проєктивних многовиди біраціонально еквівалентними.

Проєктивний многовид X називають мінімальним, якщо канонічне розшарування^[en] K_X є неф-розшаруванням^[en]. Для X розмірності 2 достатньо розглядати гладкі многовиди. У розмірностях 3 і вище мінімальним многовидам має бути дозволено мати деякі слабкі особливості, для яких поведінка K_X залишається хорошою. Їх називають термінальними особливостями^[en].

Проте, з істинності гіпотези про мінімальну модель випливало б, що будь-який многовид X або покривається раціональними кривими, або біраціонально еквівалентний мінімальному многовиду Y. Якщо таке існує, то Y називають мінімальною моделлю многовиду X.

Мінімальні моделі не єдині в розмірності 3 і вище, але будь-які два мінімальних біраціональних многовиди дуже близькі. Наприклад, вони ізоморфні поза підмножинами з коефіцієнтом 2 і вище, і, точніше, вони пов'язані послідовністю фліпів^[en]. Отже, гіпотеза про мінімальну модель давала б істотну інформацію про біраціональну класифікацію алгебричних многовидів.

Морі довів гіпотезу для розмірності 3^[5]. Існує значний прогрес у вищих розмірностях, хоча головна проблема залишається відкритою. Зокрема, Біркар, Кассіні, Гакон і Маккернан^[6] довели, що будь-який многовид загального типу^[en] над полем характеристики 0 має мінімальну модель.

Многовид називають унілінійчатим, якщо він покритий раціональними кривими. Унілінійчатий многовид не має мінімальної моделі, але існує хороша заміна — Біркар, Кассіні, Гакон і Маккернан показали, що будь-який унілінійчатий многовид над полем з нульовою характеристикою є біраціональним розшаруванням Фано^[7]. Це веде до задачі біраціональної класифікації розшарувань Фано і (як найцікавіший випадок) многовидів Фано^[en]. За визначенням, проєктивний многовид X є многовидом Фано, якщо антиканонічний пучок K_X^* є рясним. Многовиди Фано можна розглядати як найближчі до проєктивних просторів.

У розмірності 2 будь-який многовид Фано (відомий як поверхня дель Пеццо^[en]) над алгебрично замкнутим полем раціональний. Головним відкриттям 1970-х років було те, що, починаючи з розмірності 3, існує багато многовидів Фано, які не є раціональними^[en]. Зокрема, гладкі кубічні тривимірні многовиди, за Клеменсом і Ґріффітсом^[8], не раціональні, а гладкі тривимірні многовиди четвертого степеня не раціональні за Ісковських і Маніним^[9]. Все ж, задача точного визначення, які многовиди Фано раціональні, далека від розв'язання. Наприклад, невідомо, чи існує нераціональна гладка кубічна гіперповерхня в Pⁿ⁺¹ з n ≥ 4.

Алгебричні многовиди значно відрізняються за кількістю їхніх біраціональних автоморфізмів. Будь-який многовид загального типу^[en] дуже жорсткий у тому сенсі, що його група біраціональних автоморфізмів скінченна. Інша крайність, група біраціональних автоморфізмів проєктивного простору Pⁿ над полем k, відома як група Кремони Cr_n(k), велика (має нескінченну розмірність) для n ≥ 2. Для n = 2 комплексна група Кремони Cr₂(C) породжується «квадратичним перетворенням»: [x,y,z] ↦ [1/x, 1/y, 1/z]

разом з групою PGL(3,C) автоморфізм P², за Максом Нетером і Гвідо Кастельнуово. На відміну від цього, група Кремони в розмірності n ≥ 3 дуже таємнича, для неї не відомо явної множини генераторів.

Ісковських і Манін^[9] показали, що група біраціональних автоморфізмів гладких гіперповерхонь четвертого порядку (квартик) тривимірних многовидів дорівнює її групі автоморфізмів, яка скінченна. У цьому сенсі тривимірні многовиди четвертого порядку далекі від раціональності, оскільки група біраціональних автоморфізмів раціонального многовиду^[en] величезна. Цей феномен «біраціональної жорсткості» відкрито відтоді для багатьох розшарованих просторів Фано.