У математиці абстрактний многогранник, неформально кажучи, це структура, яка враховує тільки комбінаторні властивості традиційних многогранників і ігнорує багато інших їхніх властивостей, таких як кути, довжини ребер тощо. При цьому не потрібна наявність будь-якого простору, що містить многогранник, такого як евклідів простір. Абстрактне формулювання реалізує комбінаторні властивості як частково впорядковану множину (далі посет^[1]).

Абстрактне визначення дозволяє деякі більш загальні комбінаторні структури, ніж традиційна концепція многогранника, і допускає багато нових об'єктів, що не мають аналога в традиційній теорії.

В геометрії Евкліда шість чотирикутників, наведених на малюнку вище, різні. Все ж вони мають щось спільне, що відрізняє їх від трикутника або куба, наприклад.

Елегантна, хоча географічно неточна, схема лондонського метро^[en] надає всю відповідну інформацію як проїхати з пункту A в пункт B. Ще один приклад — електрична принципова схема. За нею кінцеве розташування проводів і елементів часто з першого погляду визначити неможливо.

У кожному такому прикладі зв'язки між елементами ті ж самі і не пов'язані з фізичним розташуванням. У цьому випадку кажуть, що об'єкти комбінаторно еквівалентні. Ця еквівалентність і укладена в поняття абстрактного многогранника. Таким чином, комбінаторно наші шість чотирикутників «ті ж самі». Кажучи строгіше, вони ізоморфні або «зберігають структуру».

Властивості, зокрема вимірні, традиційних многогранників, такі як кути, довжина ребер, несиметрія і опуклість несуттєві для абстрактних многогранників. Інші традиційні поняття можуть розглядатися, але не завжди таким самим чином. Може трапитися, що деяке судження, істинне для традиційних многогранників, може бути хибним для абстрактних, і навпаки. Наприклад, традиційні многогранники правильні, якщо всі їхні грані і вершинні фігури правильні, але це не стосується абстрактних многогранників ^[2].

Для визначення абстрактних многогранників слід увести кілька понять.

У цій статті многогранник означає абстрактний многогранник, якщо не зазначено явно інше. Термін традиційний використовується для посилань на те, що зазвичай розуміється під многогранниками за винятком власне абстрактних многогранників. Іноді використовуються терміни класичний або геометричний.

Зв'язки на схемі залізниці або електричній схемі можна подати просто «точками і лініями», тобтографом. Многогранники, однак, мають ієрархію за розмірністю. Наприклад, вершини, ребра і грані куба мають розмірності 0, 1 і 2 відповідно. Сам куб є 3-вимірним.

У цій абстрактній теорії поняття рангу замінює поняття розмірності. Це поняття формально визначено нижче.

Поняття грань використовується для будь-яких елементів будь-якого рангу, наприклад вершин (ранг 0) або ребер (ранг 1), а не тільки граней рангу 2. Елемент рангу k називається k-гранню.

Можемо тоді визначити многогранник як множину граней P з відношенням порядку <, яке задовольняє додатковим аксіомам. Формально, P (з відношенням порядку <) буде (строго) частково впорядкованою множиною (посет^[1]).

Якщо F < G, ми кажемо, що F є підгранню G (або G має підгрань F).

Ми кажемо, що F і G інцидентні, якщо або F = G, або F < G, або G < F. Це значення відрізняється від традиційного використання в геометрії та інших галузях математики. Наприклад, у квадраті abcd, ребра ab і bc НЕ інцидентні.

Так само як поняття нуля і нескінченності є необхідними в математиці, такі ж поняття корисні для абстрактних многогранників — вважається що будь-який многогранник має найменшу грань, яка є підгранню всіх інших, і найбільшу грань, для якої всі інші грані є підгранями.

Фактично, многогранник може мати лише одну грань. В цьому випадку найменша і найбільша грані збігаються.

Найменшу і найбільшу грані називають невласними. Всі інші грані називають власними.

Найменшу грань називають порожньою гранню, оскільки вона не має вершин (або будь-яких інших граней) як підграней. Оскільки найменша грань міститься нижче за рівнем від вершин (граней нульового рангу), її ранг дорівнює -1. Ми позначаємо цю грань як F_−1. Якщо це здається на перший погляд дивним, це почуття швидко зникає, коли розумієш, яку симетрію це поняття вносить у теорію. (Історично, математики противились таким поняттям, як від'ємні числа, дробові, ірраціональні і комплексні числа, і навіть нуль!)

Як приклад тепер створимо абстрактний квадрат з гранями як у таблиці:

Відношення < визначається як множина пар, яка (для цього прикладу) включає

F₋₁<a, … , F₋₁<X, … , F₋₁<G, … , b<Y, … , c<G, … , Z<G.

У цьому прикладі ми могли б записати ребра W, X, Y і Z як ab, ad, bc і cd відповідно, і ми будемо часто використовувати такий варіант запису. Але, як ми незабаром побачимо, така система запису не завжди прийнятна.

Ми називаємо отриману фігуру квадратом, а не чотирикутником (або чотирибічником), оскільки в нашому абстрактному світі немає кутів і ребра не мають довжин. Всі чотири ребра ідентичні і «геометрія» в кожній вершині однакова.

Відношення порядку транзитивні, тобто з F < G і G < H випливає, що F < H. Таким чином, для опису ієрархії граней немає необхідності задавати всі випадки F < H, досить вказати для кожного елемента наступний елемент, тобто коли F < H і немає такого G, для якого F < G < H.

Малі посети, і многогранники зокрема, часто добре візуалізуються за допомогою діаграми Гассе, як показано на рисунку. Зазвичай грані однакового рангу розміщуються на одному горизонтальному рівні. Кожна лінія між гранями відповідає парі F, G, такій що F < G, де F міститься на діаграмі нижче, ніж G.

Многогранник часто малюють неформально як граф. Граф має вершини і ребра, але не має граней. Мало того, для більшості многогранників неможливо отримати всі інші грані з графу, і, в загальному випадку, різні многогранники можуть мати один граф.

Діаграма Гассе, з іншого боку, повністю описує будь посет — всі структури многогранників покриваються діаграмами Гассе. Ізоморфні многогранники дають ізоморфні діаграми Гассе і навпаки.

Ранг грані F визначають як ціле (m − 2), де m — максимальна кількість граней в будь-якому ланцюжку (F', F", … , F), що задовольняє F' < F" < … < F.

Ранг посета P — це максимальний ранг n будь-якої грані, тобто ранг максимальної грані (як зазначено вище, будь-який многогранник має максимальну грань). У цій статті ми завжди використовуємо n для позначення рангу посета або многогранника.

Звідси випливає, що найменша грань, і ніяка інша, має ранг -1, а найбільша грань має ранг n. Ми позначаємо їх як F₋₁ і F_n відповідно.

Ранг грані або многогранника зазвичай відповідає розмірності аналога в традиційній теорії, але не завжди. Наприклад, грань рангу 1 відповідає ребру, яке має розмірність 1. Але просторовий многокутник у традиційній геометрії 3-вимірний, оскільки він не плоский. В абстрактному еквіваленті такий многокутник залишається абстрактним многокутником рангу 2.

Для деяких рангів існують назви типів граней.

† Хоча традиційно під «гранню» розуміють грань рангу 2, ми завжди будемо писати «2-грань», щоб уникнути двозначності і залишаємо термін «грань» для позначення грані будь-якого рангу.

Відрізок — це посет, що має мінімальну грань, рівно дві 0-грані і найбільшу грань, наприклад {∅, a, b, ab}. Звідси випливає, що вершини a і b мають ранг 0, а найбільша грань ab, а тому й сам посет, мають ранг 1.

Прапор — це максимальний ланцюжок граней, тобто (повністю) впорядкована множина Ψ граней, у якій кожна грань є підгранню наступної (якщо така є), і така, що Ψ не є підмножиною будь-якого більшого ланцюжка.

Наприклад, { ∅ , a, ab, abc} є прапором у трикутнику abc.

Ми будемо додатково вимагати, щоб для даного многогранника всі прапори містили однакове число граней. Посети, в загальному випадку, не задовольняють цим вимогам. Посет {∅ , a, b, bc, abc} має 2 прапори нерівного розміру, а тому не є многогранником.

Ясно, що якщо є дві різні грані F, G у прапорі, то або F < G або F > G.

Будь-яка підмножина P' посета P є посетом (з тим самим відношенням <, обмеженим на P').

Зокрема, якщо дано дві грані F, H посета P, де F ≤ H, множина {G | F ≤ G ≤ H} називають секцією посета P і позначають H/F. (У термінології теорії порядку секція має назву замкнутого інтервала посета і позначається [F, H], але поняття ідентичні).

Таким чином, P є секцією себе.

Наприклад, у призмі abcxyz (див. малюнок) секція xyz/ø (виділено зеленим кольором) є трикутником

{ ∅ , x, y, z, xy, xz, yz, xyz}.

k-секція — це секція рангу k.

Многогранник, який є підмножиною іншого многогранника, не обов'язково є секцією. Квадрат abcd є підмножиною тетраедра abcd, але не є його секцією.

Поняття секції не має того самого значення в традиційній геометрії.

Вершинна фігура в заданій вершині V — це (n−1)-секція F_n/V, де F_n є найбільшою гранню.

Наприклад, у трикутнику abc вершинною фігурою в b, abc/b, є {b, ab, bc, abc}, тобто відрізок. Вершинними фігурами куба є трикутники.

Посет P є зв'язним, якщо ранг P ≤ 1, або для будь-яких двох власних граней F і G існує послідовність власних граней: H₁, H₂, … , H_k

така, що F = H₁, G = H_k і кожна грань H_i, i < k інцидентна попередній грані.

Умова вище забезпечує, що пара окремих трикутників abc і xyz не є (єдиним) многогранником.

Посет P є строго зв'язним, якщо будь-яка секція P (включно з самим P) зв'язна.

З цією додатковою вимогою виключаються дві піраміди, що мають спільну вершину. Однак дві квадратні піраміди, наприклад, можуть бути «склеєні» квадратними гранями, що дає октаедр. У цьому випадку «спільна грань» не є гранню октаедра.

Абстрактний многогранник — це частково впорядкована множина, елементи якої ми називаємо гранями, що задовольняє таким чотирьом аксіомам:

1. Він має найменшу грань і найбільшу грань.
2. Всі прапори містять одне і те саме число граней.
3. Він строго пов'язаний.
4. Будь-яка 1-секція є відрізком.

n-многогранник є многогранником рангу n.

У разі порожнього многогранника найменша і найбільша грані є одним і тим самим єдиним елементом.

Аксіома 2 еквівалентна твердженню, що посет є градуйованим посетом.

Якщо виконуються інші аксіоми, аксіома 3 еквівалентна строгій зв'язності прапорів, що неформально означає:

Для будь-якої секції многогранника (включно з самим многогранником) будь-який прапор можна змінити в будь-який інший змінюючи лише одну грань за крок.

Аксіома 4 відома як «властивість діаманту», оскільки на діаграмі Гассе відрізок подається чотирикутником (діамантом).

З аксіом можна показати, що будь-яка секція є многогранником і що Rank(G/F) = Rank(G) − Rank(F) − 1.

Є лише по одному многограннику з рангами -1, 0 і 1, і це, відповідно, порожній многогранник, точка і відрізок.

Для n ≤ 1 всі n-секції многогранника є (унікальними) n-многогранниками. Однак грані рангу 0 і 1 многогранника називають вершинами і ребрами відповідно.

Для будь-якого p, 3 ≤ p < ${\displaystyle \infty }$ є абстрактний еквівалент традиційного многокутника з p вершинами і p ребрами, p-кутник. Для p = 3, 4, 5, … ми отримуємо трикутник, квадрат, п'ятикутник, ….

Для p = 2 ми отримаємо двокутник, а для p = ${\displaystyle \infty }$ — апейрогон.

Дигон — це многогранник з двома ребрами, що й відповідає назві. На відміну від інших многокутників, обидва ребра мають дві спільні вершини. З цієї причини він вважається виродженим.

Досі ми використовували для визначення граней «вершинну нотацію», наприклад. {∅, a, b, c, ab, ac, bc, abc} для трикутника abc. Цей метод має певну перевагу перед заданням відношення <.

У випадку з дигоном і багатьма іншими абстрактними многогранниками вершинну нотацію використовувати не можна. Ми мусимо дати граням індивідуальні назви і вказати пари підграней F < G (задати порядок).

Так, дигон слід визначити як множину {∅, a, b, E', E", G} з відношенням порядку <

{ø<a, ø<b, a<E', a<E, b<E', b<E, E'<G, E"<G}

де E' і E" — два ребра, а G — найбільша грань.

Підсумовуючи, многогранник можна повністю описати лише вершинною нотацією, якщо кожна грань має унікальний набір вершин. Многогранник, який має таку властивість, називають атомарним^[en].

Як зазначалося вище, поняття абстрактного многогранника дуже загальне і включає:

• Нескінченногранники^[en], тобто нескінченні многогранники або замощення
• Розкладання інших многовидів, таких як тор або дійсна проєктивна площина
• Багато інших об'єктів, таких як одинадцятикомірник і п'ятдесятисемикомірник^[en], які не поміщаються звичним чином у «нормальні» геометричні простори.

В загальному випадку, множина j-граней (-1 ≤ j ≤ n) традиційного n-многогранника утворює абстрактний n-многогранник.

Дигон узагальнюється осоедрами, які можна реалізувати як сферичні многогранники - замощення сфери.

Чотирма прикладами нетрадиційних абстрактних многогранників є напівкуб^[en][3] (показаний на малюнку), напівоктаедр^[en], напівдодекаедр і напівікосаедр. Ці многогранники є проєктивними двійниками правильних многогранників і можуть бути реалізовані як проєктивні многогранники^[en] — вони замощують дійсну проєктивну площину.

Напівкуб є ще одним прикладом, коли вершинна нотація незастосовна — всі 2-грані і 3-грані мають один і той самий набір вершин.

Будь-який многогранник має двоїстий, тобто многогранник, у якому частковий порядок обернений — діаграма Гассе двоїстого многогранника є такою ж, як і в оригінального, але перевернута («догори ногами»). Кожна початкова k-грань n-многогранника переходить у (n − k − 1)-грань двоїстого. Так, наприклад, n-грань переходить в (-1)-грань. Двоїстий многогранник двоїстому тотожний (ізоморфний) початковому.

Многогранник є самодвоїстим, якщо він збігається зі своїм двоїстим многогранником, тобто ізоморфний двоїстому. Таким чином, діаграма Гассе самодвоїстого многогранника має бути симетричною відносно горизонтальної осі. Квадратна піраміда в прикладі вище є самодвоїстим многогранником.

Вершинна фігура у вершині V є двоїстою відповідній грані двоїстого многогранника.

Формально, абстрактний многогранник визначається як «правильний», якщо його група автоморфізмів діє транзитивно на множину його прапорів. Зокрема, будь-які дві k-грані F і G n-многогранника є «однаковими», тобто є автоморфізм, який переводить F у G. Коли абстрактний многогранник є правильним, його група автоморфізмів ізоморфна факторгрупі групи Коксетера.

Всі многогранники рангу ≤ 2 правильні. Найвідоміші правильні многогранники — п'ять платонових тіл. Напівкуб (показано на малюнку) є правильним.

Неформально це означає, що для кожного рангу k немає способу відрізнити яку-небудь k-грань від будь-якої іншої — грані мають бути однаковими і мати однакових сусідів, і так далі. Наприклад, куб є правильним, оскільки всі його грані є квадратами, кожна вершина квадрата належить трьом квадратам і кожен квадрат оточений однаково іншими гранями, ребрами і вершинами, і так далі.

Це умова без жодних доповнень є достатня для того, щоб абстрактний многогранник мав ізоморфні правильні (n−1)-грані та ізоморфні правильні вершинні фігури.

Ця умова слабша, ніж правильність для традиційних многогранників, оскільки вона стосується (комбінаторної) групи автоморфізмів, а не (геометричної) групи симетрії. Наприклад, будь-який абстрактний многокутник є правильним, оскільки кути, довжини ребер, кривина ребер, перекіс тощо не існують для абстрактних многогранників.

Існують деякі інші ослаблювальні поняття, деякі не цілком стандартизовані, такі як напівправильний, квазіправильний, однорідний, хіральний многогранники і архімедові тіла, застосовні до многогранників, у яких деякі, але не всі грані еквівалентні для кожного рангу.

Якщо взяти до уваги, скільки місця приділено правильним многогранникам, може здатися, що всі многогранники правильні Насправді, правильні многогранники є дуже частковими випадками.

Найпростішим неправильним многогранником є квадратна піраміда, хоча вона має багато симетрій.

На малюнку наведено приклад многогранника без нетривіальної симетрії — жодна пара вершин, ребер, або 2-граней не є «тими самими», як визначено вище. Можливо, це найпростіший з таких многогранників.

Будь-який традиційний многогранник є прикладом реалізації абстрактного многогранника, що лежить у його основі. Це ж стосується замощень площини або інших кусково лінійних многовидів у розмірностях два і вище. До останніх належать, наприклад, проєктивні многогранники. Їх можна отримати з многогранників за допомогою центральної симетрії ототожненням протилежних вершин, ребер, граней і т. д. У тривимірному просторі це дає напівкуб^[en] і напівдодекаедр і їх двоїсті, напівоктаедр^[en] і напівікосаедр.

Більш загально, реалізація правильного абстрактного многогранника — це набір точок у просторі (відповідних вершин многогранника), разом зі структурою граней, породженою на них (абстрактним) многогранником, і ця структура, щонайменше, має ті ж симетрії, що і вихідний абстрактний многогранник. Тобто, всі комбінаторні автоморфізми абстрактних многогранників реалізуються геометричними симетріями. Наприклад, набір точок {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)} є реалізацією абстрактного 4-кутника (квадрата). Однак це не єдина реалізація — можна вибрати замість цього вершини правильного тетраедра. Для будь-якої симетрії квадрата існує відповідна симетрія правильного тетраедра (однак, правильний тетраедр має більше симетрій, ніж абстрактний 4-кутник).

Фактично, будь-який абстрактний многогранник з v вершинами має принаймні одну реалізацію як вершини (v − 1)-вимірного симплекса. Часто цікаво знайти реалізацію в найменшій розмірності.

Якщо абстрактний n-многогранник можна реалізувати в n-вимірному просторі так, що геометричне розташування не порушує яких-небудь правил для традиційних многогранників (таких як криволінійні грані або гребені^[4] нульового розміру), про таку реалізацію кажуть як про правильну. В загальному випадку тільки обмежену множину абстрактних многогранників рангу n можна реалізувати правильно для будь-якого n-простору.

Базова теорія комбінаторних структур, які тепер відомі як «абстрактні многогранники» (спочатку звані «incidence polytopes» — інциденціальні многогранники), описана в докторській дисертації Егона Шульте, хоча вона ґрунтується на раніших роботах Бранко Ґрюнбаума, Гарольда Коксетера і Жака Тітса. Відтоді дослідження в теорії абстрактних многогранників фокусувалися, переважно, на правильних многогранниках, тобто многогранниках, групи автоморфізмів яких діють транзитивно на множині прапорів многогранника.

Важливим питанням у теорії абстрактних многогранників є задача змішування. Задача складається із серії питань, таких як:

Для заданих абстрактних многогранників K і L, чи існує який-небудь многогранник P, гіпергранями якого є многогранник K, а вершинними фігурами — многогранник L?

Якщо так, чи є вони всі скінченними?

Які скінченні многогранники такого типу існують?

Наприклад, якщо K квадрат, а L — трикутник, відповіді на ці питання такі: Так, існують многогранники P з квадратними гранями, з'єднаними по три в одній вершині (тобто, многогранники типу {4,3}).

Так, всі вони скінченні,

Існує куб із шістьма квадратними гранями, дванадцятьма ребрами і вісьмома вершинами, і напівкуб^[en] із трьома гранями, шістьма ребрами і чотирма вершинами.

Відомо, що якщо відповідь на перше питання позитивна (Так) для деяких правильних K і L, існує єдиний многогранник, гіпергранями якого є K, а вершинними фігурами якого є L. Цей многогранник називається універсальним многогранником з цими гіпергранями і вершинними фігурами, який покриває всі многогранники цього типу. Тобто, припустимо, що P є універсальним многогранником з гіпергранями K і вершинними фігурами L. Тоді будь-який інший многогранник Q з цими гранями і вершинними фігурами можна записати Q=P/N, де

• N — підгрупа групи автоморфізмів P
• P/N є набором орбіт елементів P при діях N з частковим порядком, породженим групою P.

Q=P/N називається часткою від P, і кажуть, що P покриває Q.

Якщо враховувати цей факт, пошук многогранників з вибраними гіпергранями і вершинними фігурами зазвичай відбувається за наступним сценарієм:

1. Намагаємося знайти універсальний многогранник
2. Намагаємося класифікувати частки.

Ці дві задачі, в загальному випадку, дуже складні.

Повертаючись до прикладу вище, якщо K є квадратом, а L — трикутником, універсальним многогранником {K,L} буде куб (який записується як {4,3}). Напівкуб є відношенням {4,3}/N, де N — група симетрій (автоморфізмів) з двома елементами — тотожною симетрією і симетрією, що відображає кожен кут (ребро або грань) у протилежний елемент.

Якщо L є також квадратом, універсальним многогранником {K,L} (тобто, {4,4}) є замощення евклідового простору квадратами. Це замощення має нескінченне число часток із квадратними гранями, по чотири на вершину, деякі з яких правильні, а деякі — ні. За винятком самого універсального многогранника, всі частки відповідають різним способам замощення квадратами поверхні тора або нескінченно довгого циліндра.

Одинадцятикомірник, незалежно відкритий Коксетером і Ґрюнбаумом, є абстрактним 4-вимірним многогранником. Його гранями є напівікосаедри. Оскільки гіперграні є, топологічно, проєктивними площинами, а не сферами, одинадцятикомірник не є замощенням якогось многовиду в звичному сенсі. Замість цього одинадцятикомірник є локально проєктивним многогранником. Одинадцятикомірник не тільки чудовий математично, він важливий як історично перший відкритий нетрадиційний абстрактний многогранник. Многогранник самодвоїстий і універсальний — це єдиний многогранник з напівікосаедричними гіпергранями і напівдодекаедричними вертексними фігурами.

П'ятдесятисемикомірник^[en] також самодвоїстий, він має напівдодекаедричні гіперграні. Многогранник знайшов Гарольд Коксетер невдовзі після відкриття одинадцятикомірника. Подібно до одинадцятикомірника він універсальний, єдиний многогранник із напівдодекаедричними гіпергранями і напівікосаедричними вершинними фігурами. З іншого боку, існує багато інших многогранників з напівдодекаедричними гіпергранями і символом Шлефлі {5,3,5}. Універсальний многогранник з напівдодекаедричними гіпергранями й ікосаедричними (НЕ напівікосаедричними) вершинними фігурами скінченний, але дуже великий, він має 10 006 920 гіперграней і вдвічі менше вершин.

Завдання злиття, історично, стосувалася локальної топології. Тобто, замість обмеження K і L конкретними многогранниками, дозволяються будь-які многогранники із заданою топологією, тобто будь-яке замощення многогранниками заданого многовида. Якщо K і L є сферичними (тобто, замощеннями топологічної сфери), то P називається локально сферичним і відповідає замощенню деякого многовида. Наприклад, якщо K і L є обидва квадратами (а тому, топологічно, колами), P буде замощенням площини, тора або пляшки Клейна квадратами. Замощення n-вимірного многовида, фактично, є многогранником рангу n + 1. І це узгоджується з інтуїтивним уявленням, що платонові тіла тривимірні, навіть якщо їх можна розглядати як замощення поверхні двовимірної поверхні кулі.

У загальному випадку, абстрактний многогранник називається локально X, якщо його гіперграні і вершинні фігури, топологічно, або сфери, або X, але не сфери одночасно. Одинадцятикомірник і п'ятдесятисемикомірник є прикладами локально проєктивних многогранників рангу 4 (тобто, чотиривимірних), оскільки їхні гіперграні і вершинні фігури є замощеннями дійсних проєктивних площин. Тут, однак, існує слабкість термінології. Визначення не дає простих шляхів опису многогранників, гіпергранями якого є тори, а вершинними фігурами — проєктивні площини, наприклад. Ще гірше, коли різні гіперграні мають різну топологію чи не мають визначеної топології взагалі. Однак значний крок зроблено щодо повної класифікації n локально тороїдальних правильних многогранників^[5].

Нехай Ψ — прапор абстрактного n-многогранника і нехай -1 < i < n. З визначення абстрактного многогранника можна довести, що є єдиний прапор, відмінний від Ψ тільки одним елементом рангу i і однаковий в іншому. Якщо ми позначимо такий прапор через Ψ^(i), то це задає набір відображень прапорів многогранника, скажімо φ_i. Ці відображення називаються відображеннями обміну, оскільки вони міняють місцями пари прапорів: (Ψφ_i)φ_i = Ψ^[6]. Деякі інші властивості відображень обміну:

• φ_i² тотожне відображення
• φ_i утворюють групу.
• якщо |i — j| > 1, 'φ'_iφ_j = 'φ'_jφ_i
• Якщо α — автоморфізм многогранника, то αφ_i = φ_iα
• Якщо многогранник правильний, то група, що генерується φ_i, ізоморфна групі автоморфізмів, в іншому випадку вона строго більша.

Відображення обміну можуть бути використані для доведення, що будь-який абстрактний многогранник є похідним від деякого правильного многогранника.

Многогранник можна подати у вигляді таблиці інциденцій. Нижче наведено матрицю інциденцій для трикутника:

Точка в таблиці показує, що одна грань є підгранню іншої грані (або навпаки, так що таблиця симетрична відносно діагоналі). Таким чином, таблиця містить надлишкову інформацію, досить було б показувати точку, коли номер грані рядка ≤ номера грані стовпця (верхню трикутну матрицю).

Оскільки саме тіло і порожня множина інцидентні всім іншим елементам, перший рядок і перший стовпець, а також останній рядок і останній стовпець тривіальні і їх можна опустити.

Подальшу інформацію можна отримати підрахунком інціденцій. Таке чисельне подання дозволяє групування за симетрією як у діаграмі Гассе квадратної піраміди — якщо вершини B, C, D і E еквівалентні за симетрією в абстрактному многограннику, то ребра f, g, h і j групуються разом, і те саме для ребер k, l, m і n. Врешті-решт групуються і трикутники 'P', 'Q', 'R' і 'S'. Відповідна матриця інціденцій абстрактного многогранника може виглядати так:

У цій матриці інціденцій діагональні елементи дають загальне число елементів кожного типу.

Ясно, що елементи різних типів одного рангу ніколи не можуть бути інцидентними, так що значення завжди дорівнює 0, але щоб допомогти розпізнати це відношення в таблиці використовується зірочка (*) замість нуля.

Піддіагональні елементи таблиці для кожного рядка представляють число інціденцій відповідних піделементів, тоді як наддіагональні елементи представляють число інціденцій елемента вершинам, ребрам та іншим фігурам.

Вже цей приклад квадратної піраміди показує, що така матриця інциденцій не симетрична. Однак залишаються прості зв'язки елементів таблиці, оскільки для таких матриць інциденцій ${\displaystyle I=(I_{ij})}$ виконується:

${\displaystyle I_{ii}\cdot I_{ij}=I_{ji}\cdot I_{jj}\ \ (i<j).}$

Ранні приклади абстрактних многогранників виявили Коксетер і Петрі — три нескінченні структури {4, 6}, {6, 4} і {6, 6}, які вони назвали правильними косими нескінченногранниками^[en].

1960 року Бранко Ґрюнбаум запропонував геометричній спільноті обговорити узагальнення поняття правильних многогранників, які він назвав polystromata (poly + stromata^[7]). Він розробив теорію, показавши приклади нових об'єктів, включно з одинадцятикомірником.

Одинадцятикомірник є самодвоїстим чотиривимірним многогранником, грані якого не ікосаедри, а напівікосаедри, тобто, фігури, які виходять, якщо протилежні сторони ікосаедра вважати однією (тією ж) гранню (Grünbaum, 1977). Через кілька років після відкриття Ґрюнбаумом одинадцятикомірника Коксетер виявив схожий многогранник, пятдесятисемикомірник^[en] (Coxeter 1982, 1984), а потім, незалежно, перевідкрив одинадцятикомірник.

Егон Шульте (Egon Schulte) визначив «правильні комплекси інциденцій» і «правильні інциденційні многогранники» в свій дисертації в 1980-х, у якій було вперше наведено сучасне визначення. Згодом він і Пітер Макмаллен^[en] розробили базову теорію в серії статей, пізніше зібраних у книгу. Численні дослідники зробили відтоді свій внесок, а піонери досліджень (зокрема Ґрюнбаум) прийняли визначення Шульте як «правильне».

• 11-комірник і п'ятдесятисемикомірник^[en] — два абстрактних правильних 4-вимірних многогранники
• Ейлерова частково впорядкована множина
• Градуйована частково впорядкована множина
• Правильний многогранник