В математиці, функтор Ext є похідним функтором функтора Hom. Разом із функтором Tor, Ext є одним із головних понять гомологічної алгебри. За допомогою цього функтора можна дати означення когомології груп, когомології алгебр Лі і когомології Хохшильда.

У випадку абелевих груп, Ext був введений Рейнхольдом Бером у 1934 році. Термін Ext був запропонований у 1942 році Ейленбергом і МакЛейном, які застосували це поняття у топології. Для модулів над довільним кільцем, означення функтора Ext було дане Картаном і Ейленбергом у 1956 році в книзі Homological Algebra.^[1]

Нехай R — кільце і R-Mod позначає категорію модулів над R. (Для некомутативних кілець це може бути категорія лівих R-модулів чи правих R-модулів.) Для деякого R-модуля A, позначимо T(B) = Hom_R(A, B) де B належить категорії R-Mod. Цей функтор є точним зліва функтором із категорії R-Mod у категорію абелевих груп Ab, і тому для нього існує правий похідний функтор RⁱT. Групами Ext є абелеві групи за означенням рівні

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)=(R^{i}T)(B),}$

для цілих чисел i.

Більш детально, нехай маємо деяку ін'єктивну резольвенту:

${\displaystyle 0\to B\to I^{0}\to I^{1}\to \cdots .}$

Відкинемо в ній елемент B, і утворимо коланцюговий комплекс:

${\displaystyle 0\to \operatorname {Hom} _{R}(A,I^{0})\to \operatorname {Hom} _{R}(A,I^{1})\to \cdots .}$

Для кожного цілого числа i, Extⁱ_R(A, B) є когомологією цього комплексу по порядку i. Для від'ємних i когомологія вважається рівною нулю. Наприклад, Ext⁰_R(A, B) є ядром відображення Hom_R(A, I⁰) → Hom_R(A, I¹), яке є ізоморфним Hom_R(A, B).

Еквівалентне означення використовує функтор G(A)=Hom_R(A, B), для деякого R-модуля B. У даному випадку маємо контраваріантний функтор, який можна розглядати як точний зліва функтор із оберненої категорії (R-Mod)^op у категорію Ab. Групи Ext за означеннями є похідними функторами RⁱG:

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)=(R^{i}G)(A).}$

В цьому випадку спершу вводиться проєктивна резольвента

${\displaystyle \cdots \to P_{1}\to P_{0}\to A\to 0.}$

Після вилучення A і утворення коланцюгового комплекса:

${\displaystyle 0\to \operatorname {Hom} _{R}(P_{0},B)\to \operatorname {Hom} _{R}(P_{1},B)\to \cdots }$

можна означити Extⁱ_R(A, B) як когомологію цього комплексу в позиції i.

Описані вище побудови не залежать від вибору проєктивної чи ін'єктивної резольвенти і у всіх випадках отримуються однакові групи.^[2]

Для комутативного кільця R і R-модулів A і B, Extⁱ_R(A, B) є R-модулем (використовуючи те, що Hom_R(A, B) є R-модулем у цьому випадку). Для некомутативного кільця R, Extⁱ_R(A, B) є загалом лише абелевою групою. Якщо R є алгеброю над кільцем S (що, зокрема, означає, що S є комутативним кільцем), тоді Extⁱ_R(A, B) є принаймні S-модулем.

• Ext⁰_R(A, B) ≅ Hom_R(A, B).

• Extⁱ
  _R(A, B) = 0 для всіх i > 0 якщо R-модуль A є проєктивним (наприклад, вільним) або якщо B є ін'єктивним.

• виконуються і обернені твердження:
  • Якщо Ext¹
    _R(A, B) = 0 для всіх B, тоді A є проєктивним (і тому Extⁱ
    _R(A, B) = 0 для всіх i > 0).
  • Якщо Ext¹
    _R(A, B) = 0 для всіх A, тоді B є ін'єктивним (і тому Extⁱ
    _R(A, B) = 0 для всіх i > 0).

• ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{i}(A,B)=0}$ для всіх i ≥ 2 і всіх абелевих груп A і B.^[3]

• Якщо R є комутативним кільцем і елемент u не є дільником нуля, тоді

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(R/(u),B)\cong {\begin{cases}B[u]&i=0\\B/uB&i=1\\0&{\text{otherwise,}}\end{cases}}}$

для кожного R-модуля B. Тут B[u] позначає підгрупу у B, задану як {x ∈ B: ux = 0}. Якщо R є кільцем цілих чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ за допомогою цих обчислень можна порахувати ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(A,B)}$ для будь-якої скінченнопородженої абелевої групи A.

• Згідно загальних властивостей похідних функторів, для Ext існують дві основні довгі точні послідовності.^[4] Спершу, коротка точна послідовність 0 → K → L → M → 0 R-модулів породжує довгу точну послідовність виду

${\displaystyle 0\to \mathrm {Hom} _{R}(A,K)\to \mathrm {Hom} _{R}(A,L)\to \mathrm {Hom} _{R}(A,M)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(A,K)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(A,L)\to \cdots ,}$

для будь-якого R-модуля A. Також, коротка точна послідовність 0 → K → L → M → 0 породжує довгу точну послідовність

${\displaystyle 0\to \mathrm {Hom} _{R}(M,B)\to \mathrm {Hom} _{R}(L,B)\to \mathrm {Hom} _{R}(K,B)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(M,B)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(L,B)\to \cdots ,}$

для будь-якого R-модуля B.

• Ext відображає прямі суми (можливо нескінченні) по першій змінній і прямі добутки по другій змінній у прямі добутки.^[5] Тобто,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ext} _{R}^{i}\left(\bigoplus _{\alpha }M_{\alpha },N\right)&\cong \prod _{\alpha }\operatorname {Ext} _{R}^{i}(M_{\alpha },N)\\\operatorname {Ext} _{R}^{i}\left(M,\prod _{\alpha }N_{\alpha }\right)&\cong \prod _{\alpha }\operatorname {Ext} _{R}^{i}(M,N_{\alpha })\end{aligned}}}$

• Нехай A скінченнопороджений модуль над комутативним нетеровим кільцем R. Тоді Ext комутує із операцією локалізації, тобто для кожної мультиплікативно замкнутої множини S у R, довільного R-модуля B і цілого числа i,^[6]

${\displaystyle S^{-1}\operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)\cong \operatorname {Ext} _{S^{-1}R}^{i}\left(S^{-1}A,S^{-1}B\right).}$

Назва Ext походить від зв'язку із розширеннями модулів. Для R-модулів A і B, розширенням A за допомогою B називається коротка точна послідовність R-модулів

${\displaystyle 0\to B\to E\to A\to 0.}$

Два розширення

${\displaystyle 0\to B\to E\to A\to 0}$

${\displaystyle 0\to B\to E'\to A\to 0}$

називаються еквівалентними (як розширення A за допомогою B) якщо існує комутативна діаграма

Середня стрілка при цьому є ізоморфізмом. Розширення A за допомогою B розщеплюється якщо воно є еквівалентним тривіальному розширенню

${\displaystyle 0\to B\to A\oplus B\to A\to 0.}$

Існує бієкція між класами еквівалентності розширень A за допомогою B і елементами Ext⁰_R(A, B).^[7] При цій бієкції тривіальні розширення відповідають нульовим елементам груп Ext¹_R(A, B).

Сума Бера є описом абелевої структури Ext¹_R(A, B), якщо її розглядати як клас еквівалентності розширення A за допомогою B.^[8] А саме, для двох розширень

${\displaystyle 0\to B{\xrightarrow[{f}]{}}E{\xrightarrow[{g}]{}}A\to 0}$

і

${\displaystyle 0\to B{\xrightarrow[{f'}]{}}E'{\xrightarrow[{g'}]{}}A\to 0,}$

спершу розглядається розшарований добуток над ${\displaystyle A}$,

${\displaystyle \Gamma =\left\{(e,e')\in E\oplus E'\;|\;g(e)=g'(e')\right\}.}$

Тоді можна взяти фактор-модуль

${\displaystyle Y=\Gamma /\{(f(b),-f'(b))\;|\;b\in B\}.}$

Сумою Бера E і E′ є розширення

${\displaystyle 0\to B\to Y\to A\to 0,}$

де першим відображенням є ${\displaystyle b\mapsto [(f(b),0)]=[(0,f'(b))],}$ а другим ${\displaystyle (e,e')\mapsto g(e)=g'(e')}$.

Сума Бера є визначеною з точністю до еквівалентності, комутативною і нейтральним елементом є тривіальне розширення. Оберненим розширенням до розширення 0 → B → E → A → 0 є розширення із тим самим модулем E але із заміною гомоморфізму E → A на від'ємний.

Нобуо Йонеда ввів абелеві групи Extⁿ
_C(A, B) для об'єктів A і B в довільній абелевій категорії C; його означення узгоджується із означення в термінах резольвент якщо C має достатньо проєктивних чи ін'єктивних об'єктів. Спершу, Ext⁰_R(A,B) = Hom_C(A, B). Далі, Ext¹
_C(A, B) є множиною класів еквівалентності розширення A за допомогою B, що є абелевою групою відносно суми Бера. Нарешті, групи Ext вищих порядків Extⁿ
_C(A, B) за означенням є класами еквівалентності n-розширень, тобто точними послідовностями

${\displaystyle 0\to B\to X_{n}\to \cdots \to X_{1}\to A\to 0,}$

згідно відношення еквівалентності породженого рівностями між розширеннями виду

${\displaystyle {\begin{aligned}\xi :0&\to B\to X_{n}\to \cdots \to X_{1}\to A\to 0\\\xi ':0&\to B\to X'_{n}\to \cdots \to X'_{1}\to A\to 0\end{aligned}}}$

якщо існують відображення X_m → X′_m для всіх m із {1, 2, ..., n} такі, що всі відповідні квадрати комутують, тобто якщо існує ланцюгове відображення ξ → ξ', що є рівним одиничному на A і B.

Сума Бера таких двох n-розширень утворюються введенням ${\displaystyle X''_{1}}$ як розшарованого добутку ${\displaystyle X_{1}}$ і ${\displaystyle X'_{1}}$ над A, і ${\displaystyle X''_{n}}$ як розшарованого кодобутку ${\displaystyle X_{n}}$ і ${\displaystyle X'_{n}}$ під B.^[9] Тоді сума Бера розширень є рівною

${\displaystyle 0\to B\to X''_{n}\to X_{n-1}\oplus X'_{n-1}\to \cdots \to X_{2}\oplus X'_{2}\to X''_{1}\to A\to 0.}$

• Когомологія груп є рівною ${\displaystyle H^{*}(G,M)=\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} [G]}^{*}(\mathbb {Z} ,M)}$, де G є групою, M є представлення G над цілими числами, і ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ є груповим кільцем G.

• Для алгебри A над кільцем k і A-бімодуля M, когомологія Хохшильда є рівною

${\displaystyle HH^{*}(A,M)=\operatorname {Ext} _{A\otimes _{k}A^{\text{op}}}^{*}(A,M).}$

• Когомологія алгебр Лі є рівною ${\displaystyle H^{*}({\mathfrak {g}},M)=\operatorname {Ext} _{U{\mathfrak {g}}}^{*}(k,M)}$, де ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ є алгеброю Лі над комутативним кільцем k, M є ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-модуль, і ${\displaystyle U{\mathfrak {g}}}$ є універсальною обгортуючою алгеброю.

• Для топологічного простору X, когомологія пучків є рівною ${\displaystyle H^{*}(X,A)=\operatorname {Ext} ^{*}(\mathbb {Z} _{X},A).}$ Тут Ext розглядається у абелевій категорії пучків абелевих груп на X, і ${\displaystyle \mathbb {Z} _{X}}$ є пучком локально сталих функцій із значенням у ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ (із дискретною топологією).

• Для локального кільця Нетер R із полем лишків k, ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{*}(k,k)}$ має структуру кокомутативної градуйованої алгебри Гопфа над k. Коли характеристика k є рівною 0, то ця алгебра є універсальною обгортуючою алгеброю когомології Андре — Квіллена D*(k/R,k) (що є градуйованою алгеброю Лі).^[10]

• Похідний функтор
• Функтор Hom

• Baer, Reinhold (1934), Erweiterung von Gruppen und ihren Isomorphismen, Mathematische Zeitschrift, 38(1): 375—416, doi:10.1007/BF01170643, Zbl 0009.01101
• Cartan, Henri; Eilenberg, Samuel (1999) [1956], Homological algebra, Princeton: Princeton University Press, ISBN 0-691-04991-2, MR 0077480
• Eilenberg, Samuel; MacLane, Saunders (1942), Group extensions and homology, Annals of Mathematics, 43: 757—931, MR 0007108
• Quillen, Daniel (1970), On the (co-)homology of commutative rings, Applications of categorical algebra, Proc. Symp. Pure Mat., т. 17, American Mathematical Society, с. 65—87, MR 0257068
• Weibel, Charles A (1994), An introduction to homological algebra, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 38, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55987-4, MR 1269324
• Weibel, Charles A. (1999), History of homological algebra, History of topology (PDF), Amsterdam: North-Holland, с. 797—836, MR 1721123