Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Формула д'Аламбера — формула, що описує розв'язок задачі Коші для одновимірного хвильового рівняння
∂
2
∂
x
2
u
(
x
,
t
)
−
1
c
2
∂
2
∂
t
2
u
(
x
,
t
)
=
f
(
x
,
t
)
.
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}u(x,t)-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}u(x,t)=f(x,t).}
в області
t
>
0
,
−
∞
<
x
<
∞
{\displaystyle t>0,\,-\infty <x<\infty }
u
(
x
,
0
)
=
φ
(
x
)
,
u
t
(
x
,
0
)
=
ψ
(
x
)
{\displaystyle u(x,0)=\varphi (x),\,u_{t}(x,0)=\psi (x)}
Формула має вигляд [ 1]
u
(
x
,
t
)
=
φ
(
x
+
c
t
)
+
φ
(
x
−
c
t
)
2
+
1
2
c
∫
x
−
c
t
x
+
c
t
ψ
(
α
)
d
α
+
1
2
c
∫
0
t
∫
x
−
c
(
t
−
τ
)
x
+
c
(
t
−
τ
)
f
(
s
,
τ
)
d
s
d
τ
{\displaystyle u(x,t)={\frac {\varphi (x+ct)+\varphi (x-ct)}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int \limits _{x-ct}^{x+ct}{\psi (\alpha )d\alpha }+{\frac {1}{2c}}\int \limits _{0}^{t}\int \limits _{x-c(t-\tau )}^{x+c(t-\tau )}f(s,\tau )dsd\tau }
