У теорії представлення, галузі математики, теорема найбільшої ваги класифікує незвідні представлення складної напівпростої алгебри Лі ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ^{[1] [2]} . Існує тісно пов’язана теорема, що класифікує незвідні представлення пов'язаної компактної групи Лі ${\displaystyle K}$ ^[3] . У теоремі зазначається, що існує бієкція

${\displaystyle \lambda \mapsto [V^{\lambda }]}$

з множини "домінуючих інтегральних елементів" на множину класів еквівалентності незвідних представлень ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ або ${\displaystyle K}$ . Різниця між двома результатами полягає в точному понятті "інтеграл" у визначенні домінуючого інтегрального елемента. Якщо ${\displaystyle K}$ просто зв'язана, ця відмінність зникає.

Нехай ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ - скінченновимірна напівпроста складна алгебра Лі з підалгеброю Картана ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ . Нехай ${\displaystyle R}$ - пов'язана система коренів. Потім ми кажемо, що елемент ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}}$ є інтегральним ^[4], якщо

${\displaystyle 2{\frac {\langle \lambda ,\alpha \rangle }{\langle \alpha ,\alpha \rangle }}}$

- ціле число для кожного кореня ${\displaystyle \alpha }$ . Далі вибираємо набір ${\displaystyle R^{+}}$ додатних коренів, і говоримо, що елемент ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}}$ є домінуючим, якщо ${\displaystyle \langle \lambda ,\alpha \rangle \geq 0}$ для усіх ${\displaystyle \alpha \in R^{+}}$ . Елемент ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}}$ є домінуючим інтегралом, якщо він є і домінуючим, і інтегральним. Нарешті, якщо ${\displaystyle \lambda }$ і ${\displaystyle \mu }$ знаходяться в ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$, ми говоримо, що ${\displaystyle \lambda }$ більше^[5] ніж ${\displaystyle \mu }$, якщо ${\displaystyle \lambda -\mu }$ може бути вираженим лінійною комбінацією додатних коренів з від'ємними реальними коефіцієнтами.

Вага ${\displaystyle \lambda }$ представлення ${\displaystyle V}$ з ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ тоді називається найбільшою вагою, якщо ${\displaystyle \lambda }$ більше, ніж будь-яка інша вага ${\displaystyle \mu }$ з ${\displaystyle V}$ .

Тоді теорема про найбільшу вагу констатує^[2]:

• Якщо ${\displaystyle V}$ є незвідним скінченновимірним представленням ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, то ${\displaystyle V}$ має унікальну найбільшу вагу, і ця найбільша вага є домінуючим інтегралом.
• Якщо два незвідні скінченновимірні представлення мають однакову найбільшу вагу, вони є ізоморфними.
• Для кожного домінуючого інтегрального елемента ${\displaystyle \lambda }$, існує скінченновимірне незвідне представлення з найбільшою вагою ${\displaystyle \lambda }$ .

Найскладніша частина - остання; побудова скінченновимірні незвідного представлення.

Нехай ${\displaystyle K}$ сполучене компактною групою Лі з алгеброю Лі ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ і нехай ${\displaystyle {\mathfrak {g}}:={\mathfrak {k}}+i{\mathfrak {k}}}$ - комплексифікація ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Нехай ${\displaystyle T}$ -максимальним тором в ${\displaystyle K}$ з алгеброю Лі ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$ . Тоді ${\displaystyle {\mathfrak {h}}:={\mathfrak {t}}+i{\mathfrak {t}}}$ є підалгеброю Картана ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, і ми можемо сформувати зв'язану кореневу систему ${\displaystyle R}$ . Тоді теорія продовжується приблизно так само, як і у випадку алгебри Лі, з однією суттєвою різницею: поняття цілісності інше. Зокрема, ми говоримо, що елемент ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}}$ є аналітично цілісним^[6] якщо

${\displaystyle \langle \lambda ,H\rangle }$

- це ціле число завжди, коли

${\displaystyle e^{2\pi H}=I}$

де ${\displaystyle I}$ є елементом ідентичності ${\displaystyle K}$ . Кожен аналітично цілісний елемент є цілісним у сенсі алгебри Лі^[7], але можуть бути цілісні елементи в сенсі алгебри Лі, які не є аналітично цілісними. Ця відмінність відображає той факт, що якщо ${\displaystyle K}$ не є просто зв'язаним, можуть бути представлення ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, які не походять від представлень ${\displaystyle K}$ . З іншого боку, якщо ${\displaystyle K}$ просто зв'язаний, поняття "цілісний" і "аналітично цілісний" збігаються. ^[3]

Теорема найбільшої ваги для представлень ${\displaystyle K}$ ^[8] тоді є таким самим, як і у випадку алгебри Лі, за винятком того, що "цілісний" замінюється на "аналітично цілісний".

Є щонайменше чотири доведення:

• Оригінальне доведення Германа Вейля з точки зору компактної групи^[9], засноване на формулі характеру Вейля та теоремі Пітера – Вейля .
• Теорія модулів Верми містить теорему найвищої ваги. Такий підхід застосовується у багатьох стандартних підручниках (наприклад, Хамфріс та частина II Холу).
• Теорема Бореля – Вайля – Ботта будує незвідне представлення як простір глобальних ділянок простого лінійного пучка; як наслідок випливає теорема найбільшої ваги. (Підхід використовує алгебраїчну геометрію, але дає дуже швидкий доказ.)
• Інваріантний теоретичний підхід: конструюються незвідні предствлення як субпредставлення тензорної потужності стандартних представлень. Такий підхід пов'язаний з Х. Вейлом і досить добре працює для класичних груп.

• Класифікація скінченновимірних представлень алгебри Лі
• Теорія представлення зв'язаної компактної групи Лі
• Ваги в теорії представлення напівпростих алгебр Лі

• Dixmier, Jacques (1996) [1974], Enveloping algebras, Graduate Studies in Mathematics, т. 11, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0560-2, MR 0498740 Dixmier, Jacques (1996) [1974], Enveloping algebras, Graduate Studies in Mathematics, т. 11, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0560-2, MR 0498740 Dixmier, Jacques (1996) [1974], Enveloping algebras, Graduate Studies in Mathematics, т. 11, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0560-2, MR 0498740
• Fulton, William ; Харріс, Джо (1991). Теорія репрезентації Перший курс . Випускники тексти з математики, читання з математики. 129 . Нью-Йорк: Спрингер-Верлаг. doi : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9 . ISBN   Fulton, William Fulton, WilliamMICTEP   1153249 . OCLC   246650103 .
• Hall, Brian C. (2015), Lie groups, Lie algebras, and representations: An elementary introduction, Graduate Texts in Mathematics, т. 222 (вид. 2nd), Springer, ISBN 978-3319134666 Hall, Brian C. (2015), Lie groups, Lie algebras, and representations: An elementary introduction, Graduate Texts in Mathematics, т. 222 (вид. 2nd), Springer, ISBN 978-3319134666
• Humphreys, James E. (1972a), Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Birkhäuser, ISBN 978-0-387-90053-7 Humphreys, James E. (1972a), Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Birkhäuser, ISBN 978-0-387-90053-7 .

На цю статтю не посилаються інші статті Вікіпедії. Будь ласка розставте посилання відповідно до прийнятих рекомендацій.