Нехай у просторі-часі, в якому записаний вираз для дії, існують певні симетрії. Це означає, що інтеграл, через який визначається дія, не змінюється при застосуванні деяких неперервних перетворень, кожне з яких відповідає своїй симетрії. Це означає, що не змінюються і рівняння руху. Шукані перетворення, які задовольнують цій умові, і треба знайти.
Нехай є деякі неперервні перетворення координат,
, та полів,
, що залежать від
дійсних параметрів
. Тоді
,
причому при тотожних перетвореннях можна записати, що
,
а умовою інваріантності дії при перетвореннях цих величин є
,
де врахована залежність функції Лагранжа від як від часу, так і від точки: у частинному випадку, коли функція Лагранжа записана для скалярних функцій, вона залежить лише від часу, проте у більш загальному випадку вона записана для векторних функцій, а отже, залежить від 4-вектора
.
Для малих
, з урахуванням
,
можна розкласти в ряд до лінійних по
доданків:
.
У подальшому позначення суми для цих і пов'язаних із ними виразів не будуть писатися.
Для того, щоб виділити у перетворенні поля перетворення, що змінює функціональну залежність поля від аргументів, і перетворення, що змінює значення полів, можна розкласти поле для малого приросту координати
:
,
де штрих при
у другому доданку прибрано для збереження порядку малості по
.
З іншого боку, сраведливий вираз
. Якщо прирівняти
до
, можна отримати:
.
Із позначення
видно, що
відповідає за зміну форми функції без зміни функціональної залежності від
.
Користуючись заміною змінних при інтегруванні, можна отримати, що
.
Доведення.
Даний розклад стосується лише розкладу по зміні функціональної залежності поля, а не зміни форми самого поля, тому, чисто формально, у рамках доведення можна зробити перепозначення
.
Тоді
.
Для нескінченно малого перетворення Якобіан
зі збереженням лінійності по
рівен (розглядається випадок двовимірного простору-часу, проте усі наступні перетворення справедливі і для чотиривимірного, у чому можна вдостовіритись при безпосередній перевірці)
.
Тоді, з урахуванням
,
.
Повертаючись до заміненої функції, можна отримати:
,
де штрих при
для другого доданку з
прибрано для збереження першого порядку малості.
Залишається лише перетворити доданок
:
.
Підставивши це у
, можна отримати:
.
Використовуючи рівняння Лагранжа для векторних полів,
,
із
можна отримати:
.
Тепер можна винести
із виразу у дужках, оскільки із
слідує, що
.
Отже,
.
Отже, якщо дія інваріантна відносно деяких перетворень координат та полів,
,
, то існує m величин
(
- символ Кронекера), причому з
видно, що
.
Отже, можна провести аналогію
зі струмами, оскільки останнє рівняння є рівнянням неперервності. З нього ж можна отримати, що
,
де величина
умовно названа "зарядом", а просторові компоненти
можна інтерпретувати як деякий вектор потоку, що змінює ці "заряди" при пересіканні потоком поверхні
, що обмежує об'єм
. Якщо поля на нескінченності зникають, то з
слідує, що
, Оскільки при віднесенні поверхні
на нескінченність слідує, що потік
через неї рівен нулю.