Нехай ${\displaystyle G}$ буде групою, що має композиційний ряд. Тоді будь-які два композиційних ряди для ${\displaystyle G}$ мають однакову довжину. Більше того, якщо

${\displaystyle \{1\}=G_{n}\triangleleft G_{n-1}\triangleleft \cdots \triangleleft G_{0}=G}$

і

${\displaystyle \{1\}=H_{n}\triangleleft H_{n-1}\triangleleft \cdots \triangleleft G_{0}=G}$

це два композиційних ряди для ${\displaystyle G,}$ тоді існує перестановка ${\displaystyle \tau }$ така, що ${\displaystyle G_{i}/G_{i+1}\simeq H_{\tau (i)}/H_{\tau (i)+1}.}$

Нехай ${\displaystyle G}$ буде групою з композиційним рядом

${\displaystyle \{1\}=G_{n}\triangleleft G_{n-1}\triangleleft \cdots \triangleleft G_{0}=G.}$

Тоді для будь-якої нормальної підгрупи ${\displaystyle K}$ групи ${\displaystyle G,}$ якщо ми видалимо дублікати з ряду

${\displaystyle \{1\}=K\cap G_{n}\trianglelefteq K\cap G_{n-1}\trianglelefteq \cdots \trianglelefteq K\cap G_{0}=K\cap K,}$

результатом буде композиційний ряд для ${\displaystyle K}$ завдовжки не більше ніж ${\displaystyle n.}$

Нам потрібно довести, що ${\displaystyle K\cap G_{i+1}\triangleleft K\cap G_{i}}$ і те, що ${\displaystyle (K\cap G_{i})/(K\cap G_{i+1})}$ проста для всіх ${\displaystyle i.}$

Нехай ${\displaystyle x\in K\cap G_{i}}$ і ${\displaystyle g\in K\cap G_{i+1}.}$ Тоді ${\displaystyle xgx^{-1}\in K}$ оскільки згідно з припущенням ${\displaystyle K}$ нормальна в ${\displaystyle G.}$ Також ${\displaystyle xgx^{-1}\in G_{i+1}}$ оскільки ${\displaystyle G_{i+1}\triangleleft G_{i}.}$ Отже, ${\displaystyle xgx^{-1}\in K\cap G_{i+1},}$ що доводить те, що ${\displaystyle K\cap G_{i+1}\triangleleft K\cap G_{i}.}$

Тепер розглянемо фактор-групу ${\displaystyle (K\cap G_{i})/(K\cap G_{i+1}).}$ Оскільки ${\displaystyle G_{i}/G_{i+1}}$ проста, то ${\displaystyle G_{i+1}}$ максимальна нормальна підгрупа ${\displaystyle G_{i},}$ тому єдиними нормальними підгрупами ${\displaystyle G_{i},}$ які містять ${\displaystyle G_{i+1}}$ є ${\displaystyle G_{i+1}}$ і ${\displaystyle G_{i}.}$

Згадаймо, що ${\displaystyle K\cap G_{i}}$ нормальна в ${\displaystyle G_{i}}$ (це ядро канонічної проєкції ${\displaystyle G}$ на ${\displaystyle G/K}$ обмеженої ${\displaystyle G_{i}}$), так що маємо

${\displaystyle G_{i+1}\triangleleft (K\cap G_{i})G_{i+1}\triangleleft G_{i}.}$

Перше нормальне включення, дає що для ${\displaystyle kg\in (K\cap G_{i})G_{i+1}}$ маємо

${\displaystyle kgG_{i+1}g^{-1}k^{-1}=kG_{i+1}k^{-1}\subseteq G_{i+1}}$

оскільки ${\displaystyle k\in G_{i},}$ а ${\displaystyle G_{i+1}}$ нормальна в ${\displaystyle G_{i}.}$ Для другого нормального включення, ${\displaystyle g\in G_{i}}$

${\displaystyle g(K\cap G_{i})G_{i+1}g^{-1}=(K\cap G_{i})gG_{i+1}g^{-1}}$

оскільки ${\displaystyle K\cap G_{i}}$ нормальна в ${\displaystyle G_{i}}$ і

${\displaystyle (K\cap G_{i})gG_{i+1}g^{-1}\subseteq (K\cap G_{i})G_{i+1}}$

оскільки ${\displaystyle G_{i+1}\triangleleft G_{i}.}$

Отже, або ${\displaystyle G_{i+1}=(K\cap G_{i})G_{i+1},}$ або ${\displaystyle (K\cap G_{i})G_{i+1}=G_{i}.}$ Використовуючи другу теорему про ізоморфізми

${\displaystyle (K\cap G_{i})G_{i+1}/G_{i+1}\simeq (K\cap G_{i})/(K\cap G_{i}\cap G_{i+1})=(K\cap G_{i})/(K\cap G_{i+1}).}$

Тут ми бачимо, що якщо ${\displaystyle G_{i+1}=(K\cap G_{i})G_{i+1},}$ то ${\displaystyle K\cap G_{i}=K\cap G_{i+1}}$ і нам треба вилучити дублікат. Якщо ж ${\displaystyle (K\cap G_{i})G_{i+1}=G_{i},}$ то ${\displaystyle (K\cap G_{i})/(K\cap G_{i+1})}$ — проста.

Доведення буде за індукцією на довжину композиційного ряду. Припустимо, що ${\displaystyle G}$ має композиційний ряд довжини 1. Тоді субнормальний ряд

${\displaystyle G\triangleright \{1\}}$

не можна уточнити, отже, це мусить бути композиційний ряд. Зокрема, ${\displaystyle G\simeq G/\{1\}}$ — проста. Це єдиний можливий композиційний ряд для ${\displaystyle G}$ і всі твердження дотримані для довжини 1.

Припустимо, що ${\displaystyle n>1}$ і, що твердження теореми дотримуються для композиційних рядів завдовжки до ${\displaystyle n-1.}$ Нехай ${\displaystyle G}$ буде групою з композиційним рядом завдовжки ${\displaystyle n,}$ скажімо

${\displaystyle \{1\}=G_{n}\triangleleft G_{n-1}\triangleleft \cdots \triangleleft G_{0}=G}$

(при цьому ${\displaystyle G_{i}\neq G_{i+1}}$ для кожного ${\displaystyle i).}$ Тепер припустимо, що існує інший композиційний ряд для ${\displaystyle G}$ (знов ${\displaystyle H_{i}\neq H_{i+1})}$

${\displaystyle \{1\}=H_{m}\triangleleft H_{m-1}\triangleleft \cdots \triangleleft H_{0}=G.}$

Спочатку нам потрібно показати, що ${\displaystyle m=n}$ після чого ми обговоримо єдиність декомпозиції.

(Доведення, що ${\displaystyle m=n).}$ Ідея доведення така: щоб використаємо індукційну гіпотезу нам потрібно мати композиційні ряди завдовжки менше ніж ${\displaystyle n.}$ Спершу ми виключимо випадок коли ${\displaystyle G_{1}=H_{1},}$ тоді обчислимо композиційні ряди завдовжки ${\displaystyle n-2}$ для ${\displaystyle H_{1}\cap G_{1}.}$ Після цього ми використаємо другий композиційний ряд ${\displaystyle G,}$ щоб отримати інший композиційний ряд для ${\displaystyle H_{1}\cap G_{1}}$ чия довжина залежатиме від ${\displaystyle m}$ і ми зможемо порівняти її з вже відомою нам.

Якщо ${\displaystyle G_{1}=H_{1},}$ тоді ми застосовуємо індукційну гіпотезу до ${\displaystyle G_{1},}$ маємо ${\displaystyle n-1=m-1}$ і підхожу перестановку ${\displaystyle \tau }$ для ${\displaystyle n-1}$ факторів, і тут ми завершили.

Припустимо, що ${\displaystyle G_{1}\neq H_{1}.}$ Оскільки обидві ${\displaystyle G_{1}}$ і ${\displaystyle H_{1}}$ є максимальними нормальними в ${\displaystyle G,}$ ми бачимо, що ${\displaystyle G_{1}\triangleleft G_{1}H_{1}\triangleleft G}$ з ${\displaystyle G_{1}\neq G_{1}H_{1}}$ тому, що згідно з припущенням ${\displaystyle G_{1}\neq H_{1}.}$ З цього ${\displaystyle G_{1}H_{1}=G,}$ застосовуючи другу теорему про ізоморфізми, приходимо до висновку, що

${\displaystyle G_{1}H_{1}/H_{1}\simeq G/H_{1}\simeq G_{1}/(G_{1}\cap H_{1}).}$

Оскільки ${\displaystyle G/H_{1}}$ — проста, отримуємо, що ${\displaystyle G_{1}/(G_{1}\cap H_{1})}$ також проста. Тепер, відповідно до леми вище, по видаленні дублікатів з ряду

${\displaystyle \{1\}=H_{1}\cap G_{n}\trianglelefteq \cdots \trianglelefteq H_{1}\cap G_{0}=H_{1},}$

отримуємо композиційний ряд для ${\displaystyle H_{1}}$ завдовжки не більше ніж ${\displaystyle n}$ і

${\displaystyle \{1\}=H_{1}\cap G_{n}\trianglelefteq \cdots \trianglelefteq H_{1}\cap G_{1}}$

це композиційний ряд для ${\displaystyle H_{1}\cap G_{1}}$ не довший ніж ${\displaystyle n-1.}$ Оскільки ${\displaystyle G_{1}/(G_{1}\cap H_{1})}$ проста, то після видалення дублікатів

${\displaystyle \{1\}=H_{1}\cap G_{n}\trianglelefteq \cdots \trianglelefteq H_{1}\cap G_{1}\triangleleft G_{1}}$

це композиційний ряд для ${\displaystyle G_{1}.}$ Але тоді

${\displaystyle G_{1}\triangleright G_{2}\triangleright \cdots \triangleright G_{n}=\{1\}}$

і

${\displaystyle G_{1}\triangleright H_{1}\cap G_{1}\trianglerighteq H_{1}\cap G_{2}\trianglerighteq \cdots \trianglerighteq H_{1}\cap G_{n}=\{1\}}$

обидва є композиційними рядами для ${\displaystyle G_{1},}$ і перший з них завдовжки ${\displaystyle n-1.}$ Згідно з індукційною гіпотезою обидва ряди мають однакову довжину. Оскільки ${\displaystyle G_{1}\neq G_{1}\cap H_{1}}$ (згадаємо, що ми припустили, що ${\displaystyle G_{1}\neq H_{1}),}$ дублювання має бути десь далі в ряду. Нехай

${\displaystyle G_{1}=K_{1}\triangleright K_{2}=H_{1}\cap G_{1}\triangleright K_{3}\triangleright \cdots \triangleright K_{n}=\{1\}}$

позначає композиційний ряд для ${\displaystyle G_{1}}$завдовжки ${\displaystyle n-1,}$ з уже видаленими дублікатами. Згідно з гіпотезою, існує перестановка ${\displaystyle \alpha }$ така, що ${\displaystyle G_{i}/G_{i+1}\simeq K_{\alpha (i)}/K_{\alpha (i)+1}}$ для кожного ${\displaystyle i=1,\ldots n-1.}$ Множина ${\displaystyle \alpha }$ не пересуває індекс 0, тоді

${\displaystyle G=G_{0}\triangleright G_{1}\triangleright G_{2}\triangleright \cdots \triangleright G_{n}=\{1\}}$

і

${\displaystyle G=K_{0}\triangleright G_{1}=K_{1}\triangleright K_{2}=H_{1}\cap G_{1}\triangleright K_{3}\triangleright \cdots \triangleright K_{n}=\{1\}}$

композиційні ряди завдовжки ${\displaystyle n}$ для ${\displaystyle G}$ і ${\displaystyle \alpha }$ — це перестановка така, що ${\displaystyle G_{i}/G_{i+1}\simeq K_{\alpha (i)}/K_{\alpha (i)+1}}$ для кожного ${\displaystyle i=1,\cdots ,n-1.}$ Більше того, ми знайшли композиційний ряд для ${\displaystyle H_{1}\cap G_{1}}$ завдовжки ${\displaystyle n-2.}$

Давайте тепер проведемо подібні ж розрахунки для композиційного ряду

${\displaystyle G=H_{0}\triangleright H_{1}\triangleright \cdots \triangleright H_{m}=\{1\}}$

і нормальної підгрупи ${\displaystyle G_{1}}$ в ${\displaystyle G.}$ Знов, згідно з лемою вище, після видалення дублікатів із ряду

${\displaystyle G_{1}=H_{0}\cap G_{1}\trianglerighteq H_{1}\cap G_{1}\trianglerighteq \cdots \trianglerighteq H_{m}\cap G_{1}=\{1\}}$

отримуємо композиційний ряд для ${\displaystyle G_{1}}$ такий, що після видалення дублікатів

${\displaystyle H_{1}\cap G_{1}\trianglerighteq \cdots \trianglerighteq H_{m}\cap G_{1}=\{1\}}$

дає нам композиційний ряд для ${\displaystyle H_{1}\cap G_{1}.}$ Тепер, оскільки ${\displaystyle H_{1}\cap G_{1}}$ має композиційний ряд завдовжки ${\displaystyle n-2,}$ а саме

${\displaystyle K_{2}=H_{1}\cap G_{1}\triangleright \cdots \triangleright K_{n}=\{1\},}$

ми застосовуємо індукційну гіпотезу до ${\displaystyle H_{1}\cap G_{1},}$ щоб дійти висновку, що всі композиційні ряди для ${\displaystyle H_{1}\cap G_{1}}$ мають довжину ${\displaystyle n-2,}$ і тому попередній ряд

${\displaystyle H_{1}\cap G_{1}\trianglerighteq \cdots \trianglerighteq H_{m}\cap G_{1}=\{1\}}$

після видалення дублікатів також завдовжки ${\displaystyle n-2.}$

Оскільки з другої теореми про ізоморфізми ми знаємо, що ${\displaystyle H_{1}/(G_{1}\cap H_{1})\simeq H_{1}G_{1}/G_{1}=G_{0}/G_{1},}$ яка є простою групою, маємо, що ${\displaystyle H_{1}/(H_{1}\cap G_{1})}$ — проста. Отже, після видалення дублікатів з

${\displaystyle H_{1}\triangleright H_{1}\cap G_{1}\trianglerighteq \cdots \trianglerighteq H_{m}\cap G_{1}=\{1\}}$

дає нам композиційний ряд для ${\displaystyle H_{1}}$ завдовжки ${\displaystyle n-1}$ (ми додали ${\displaystyle H_{1}}$ до композиційного ряду для ${\displaystyle H_{1}\cap G_{1}}$ завдовжки ${\displaystyle n-2).}$ Також

${\displaystyle H_{1}\triangleright H_{2}\triangleright \cdots \triangleright H_{m}=\{1\}}$

це інший композиційний ряд для ${\displaystyle H_{1}.}$ Оскільки перший ряд завдовжки ${\displaystyle n-1,}$ то згідно з індукційною гіпотезою, другий ряд мусить мати довжину ${\displaystyle n-1.}$ З того, що його довжина ${\displaystyle m-1,}$ випливає, що ${\displaystyle m=n.}$

(Єдиність композиційних факторів). Знов, згідно з індукційною гіпотезою застосованою до ${\displaystyle H_{1},}$ маємо перестановку ${\displaystyle \beta }$ з ${\displaystyle n-1}$ композиційних факторів (яку можна розширити до ${\displaystyle n}$ факторів встановивши ${\displaystyle \beta (0)=0.}$ А саме, нехай ${\displaystyle L_{i},i=1,2,\ldots ,n}$ позначає відмінні елементи ряду

${\displaystyle H_{1}\triangleright H_{1}\cap G_{1}\triangleright H_{2}\cap G_{1}\triangleright \cdots \triangleright H_{n}\cap G_{1}=\{1\}}$

так, що ${\displaystyle L_{1}=H_{1}}$ і ${\displaystyle L_{2}=H_{1}\cap G_{1}.}$ Тоді ми маємо композиційний ряд

${\displaystyle G=H_{0}\triangleright H_{1}\triangleright \cdots \triangleright H_{m}=\{1\}}$

завдовжки ${\displaystyle n}$ для ${\displaystyle G}$ і існує перестановка ${\displaystyle \beta }$ для ${\displaystyle \{0,1,\ldots ,n-1\}}$ така, що ${\displaystyle H_{i}/H_{i+1}\simeq L_{\beta (i)}/L_{\beta (i)+1}}$ для кожного ${\displaystyle i=0,1,\ldots ,n-1.}$

Ми майже на місці, але насправді нам потрібен ізоморфізм між ${\displaystyle H_{i}/H_{i+1}}$ і ${\displaystyle G_{\beta (i)}/G_{\beta (i)+1},}$ а не між ${\displaystyle H_{i}/H_{i+1}}$ і ${\displaystyle L_{\beta (i)}/L_{\beta (i)+1}.}$ Ми згадаємо, що вже маємо перестановку ${\displaystyle \alpha }$ таку, що ${\displaystyle G_{i}/G_{i+1}\simeq K_{\alpha (i)}/K_{\alpha (i)+1}.}$ Отже, нам достатньо знайти таку між ${\displaystyle L_{i}/L_{i+1}}$ і ${\displaystyle K_{i}/K_{i+1}.}$

Нарешті, оскільки ${\displaystyle K_{2}=L_{2}=H_{1}\cap G_{1},}$ ми маємо два композиційні ряди для ${\displaystyle G:}$

${\displaystyle {\begin{matrix}G\triangleright &G_{1}\triangleright &H_{1}\cap G_{1}\triangleright &K_{3}\triangleright &\cdots &K_{n-1}\triangleright &K_{n}=\{1\}\\G\triangleright &H_{1}\triangleright &H_{1}\cap G_{1}\triangleright &L_{3}\triangleright &\cdots &L_{n-1}\triangleright &L_{n}=\{1\}.\end{matrix}}}$

Ми можемо застосувати індукційну гіпотезу до ${\displaystyle H_{1}\cap G_{1},}$ щоб довести існування перестановки ${\displaystyle \gamma }$ для ${\displaystyle \{2,3,\ldots ,n-1\}}$ такої, що для кожного ${\displaystyle i}$ з цієї множини ми маємо ${\displaystyle K_{i}/K_{i+1}\simeq L_{\gamma (i)}/L_{\gamma (i)+1}.}$ ми вже бачили, що ${\displaystyle G/G_{1}\simeq H_{1}(H_{1}\cap G_{1})}$ і ${\displaystyle G/H_{1}\simeq G_{1}/(H_{1}\cap G_{1}),}$ отже ми можемо розширити перестановку ${\displaystyle \gamma }$ на ${\displaystyle \{0,1,\ldots ,n-1\}}$ встановивши ${\displaystyle \gamma (0)=1}$ і ${\displaystyle \gamma (1)=0.}$ Тоді, оскільки

${\displaystyle K_{0}=G=L_{0},K_{1}=G_{1},L_{1}=H_{1},K_{2}=L_{2}=H_{1}\cap G_{1},}$

маємо

${\displaystyle K_{i}/K_{i+1}\simeq L_{\gamma (i)}/L_{\gamma (i)+1},i=0,\ldots ,n-1.}$

У підсумку, маємо ${\displaystyle m=n}$ і для ${\displaystyle \tau =\beta ^{-1}\gamma \alpha ,}$ маємо

${\displaystyle G_{i}/G_{i+1}\simeq H_{\tau (i)}/H_{\tau (i)+1},i=0,\ldots ,n-1.}$

Що і треба було довести.

Циклічна група ${\displaystyle C_{12}}$ має три композиційні ряди

${\displaystyle C_{1}\triangleleft C_{2}\triangleleft C_{6}\triangleleft C_{12},C_{1}\triangleleft C_{2}\triangleleft C_{4}\triangleleft C_{12},C_{1}\triangleleft C_{3}\triangleleft C_{6}\triangleleft C_{12}}$

і всі вони мають однакову довжину. Також, отримуємо такі фактор-групи

${\displaystyle \{C_{2},C_{3},C_{2}\},\{C_{2},C_{2},C_{3}\},\{C_{3},C_{2},C_{2}\}}$

які дійсно однакові з точністю до перестановки.

• Weisstein, Eric W. Теорема Жордана—Гьольдера(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Джозеф Ротман^[en]. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — ISBN 978-0387942858.(англ.)