Теорема Аміцура — Левицького — твердження про рівність нулю стандартного многочлена степеня
2
n
{\displaystyle 2n}
від довільних матриць порядку
n
{\displaystyle n}
. Прямий наслідок цього результату — матриці порядку
n
{\displaystyle n}
утворюють кільце з поліноміальними залежностями з мінімальним ступенем тотожності, що дорівнює
2
n
{\displaystyle 2n}
.
Теорема вперше доведена ізраїльськими математиками Шімшоном Аміцуром і Яковом Левицьким у 1950 році.
Згодом було дано кілька принципово інших доведень. Бертран Костант у 1958 році вивів теорему Аміцура — Левицького з теореми Кошуля — Самельсона про примітивні когомології алгебр Лі . Річард Сван у 1963 році дав просте доведення на основі теорії графів .
Юрій Размислов у 1974 році побудував доведення, що спирається на теорему Гамільтона — Келі . Шмуель Россет у 1976 році подав коротке доведення, що використовує зовнішню алгебру векторного простору розмірності.
Стандартним многочленом степеня
n
{\displaystyle n}
називається многочлен:
S
n
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
∑
σ
∈
S
n
(
−
1
)
σ
x
σ
1
⋯
x
σ
n
}
{\displaystyle S_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{\sigma }\in S_{n}}(-1)^{\sigma }x_{\sigma 1}\cdots x_{\sigma n}\}
,
де сума береться за всіма
n
!
{\displaystyle n!}
елементами симетричної групи
S
n
{\displaystyle S_{n}}
.
Тут
(
−
1
)
σ
{\displaystyle (-1)^{\sigma }}
позначає знак перестановки
σ
{\displaystyle \sigma }
і елементи
x
1
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}
не комутують між собою.
Теорема Аміцура — Левицького стверджує, що для довільних матриць
A
1
,
…
,
A
2
n
{\displaystyle A_{1},\dots ,A_{2n}}
порядку
n
{\displaystyle n}
з елементами із деякого комутативного кільця R , стандартний многочлен від цих матриць є рівним нулю:
S
2
n
(
A
1
,
…
,
A
2
n
)
=
0
{\displaystyle S_{2n}(A_{1},\ldots ,A_{2n})=0}
.
Тут подано доведення Размислова на основі такого твердження із лінійної алгебри :
Нехай C — комутативна
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
-алгебра з одиницею і
A
∈
M
n
(
C
)
{\displaystyle A\in M_{n}(C)}
— матриця для якої
tr
A
=
tr
A
2
=
.
.
.
=
tr
A
n
=
0.
{\displaystyle \operatorname {tr} A=\operatorname {tr} A^{2}=...=\operatorname {tr} A^{n}=0.}
Тоді також
A
n
=
0.
{\displaystyle A^{n}=0.}
Згідно теореми Гамільтона — Келі матриця A є коренем свого характеристичного многочлена :
A
n
+
α
n
−
1
A
n
−
1
+
…
+
α
1
A
+
α
0
=
0.
{\displaystyle A^{n}+\alpha _{n-1}A^{n-1}+\ldots +\alpha _{1}A+\alpha _{0}=0.}
Але на основі тотожностей Ньютона , характеристичний многочлен можна записати
p
A
(
λ
)
=
∑
i
=
0
n
(
−
1
)
i
q
n
−
i
(
tr
A
,
tr
A
2
…
,
tr
A
n
−
i
)
λ
i
,
{\displaystyle p_{A}(\lambda )=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}q_{n-i}{\Bigl (}\operatorname {tr} A,\operatorname {tr} A^{2}\ldots ,\operatorname {tr} A^{n-i}{\Bigr )}\lambda ^{i},}
де всі многочлени
q
n
−
i
{\displaystyle q_{n-i}}
мають раціональні коефіцієнти і нульові вільні члени окрім
q
0
=
1.
{\displaystyle q_{0}=1.}
З рівності нулю слідів степенів матриці отримуємо, що і
α
0
,
…
,
α
n
−
1
=
0
,
{\displaystyle \alpha _{0},\ldots ,\alpha _{n-1}=0,}
а тому
A
n
=
0.
{\displaystyle A^{n}=0.}
Якщо всі елементи деякого кільця R задовольнять рівності
S
n
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
0
,
{\displaystyle S_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})=0,}
то для довільного комутативного кільця A також елементи тензорного добутку
R
⊗
Z
A
{\displaystyle R\otimes _{\mathbb {Z} }A}
задовольняють цій же рівності. Справді, оскільки
S
n
(
x
1
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle S_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})}
є полілінійним (тобто
S
n
(
x
1
,
…
,
x
i
+
y
i
,
…
,
x
n
)
=
S
n
(
x
1
,
…
,
x
i
,
…
,
x
n
)
+
S
n
(
x
1
,
…
,
y
i
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle S_{n}(x_{1},\ldots ,x_{i}+y_{i},\ldots ,x_{n})=S_{n}(x_{1},\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{n})+S_{n}(x_{1},\ldots ,y_{i},\ldots ,x_{n})}
для всіх змінних) достатньо довести, що вказана рівність виконується при підстановці
x
i
=
r
i
⊗
a
i
∈
R
⊗
Z
A
.
{\displaystyle x_{i}=r_{i}\ \otimes a_{i}\in R\otimes _{\mathbb {Z} }A.}
Дійсно,
S
n
(
r
1
⊗
a
1
,
…
,
r
n
⊗
a
n
)
=
∑
σ
∈
S
n
(
−
1
)
σ
r
σ
1
⊗
a
σ
1
⋯
r
σ
n
⊗
a
σ
n
=
∑
σ
∈
S
n
(
−
1
)
σ
(
r
σ
1
⋯
r
σ
n
)
⊗
(
a
σ
1
⋯
a
σ
n
)
=
=
∑
σ
∈
S
n
(
−
1
)
σ
(
r
σ
1
⋯
r
σ
n
)
⊗
(
a
1
⋯
a
n
)
=
S
n
(
r
1
,
…
,
r
n
)
⊗
(
a
1
a
2
⋯
a
n
)
=
0.
{\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}(r_{1}\otimes a_{1},\ldots ,r_{n}\otimes a_{n})&=\sum _{\sigma \in S_{n}}(-1)^{\sigma }r_{\sigma _{1}}\otimes a_{\sigma _{1}}\cdots r_{\sigma _{n}}\otimes a_{\sigma _{n}}=\sum _{\sigma \in S_{n}}(-1)^{\sigma }(r_{\sigma _{1}}\cdots r_{\sigma _{n}})\otimes (a_{\sigma _{1}}\cdots a_{\sigma _{n}})=\\&=\sum _{\sigma \in S_{n}}(-1)^{\sigma }(r_{\sigma _{1}}\cdots r_{\sigma _{n}})\otimes (a_{1}\cdots a_{n})=S_{n}(r_{1},\ldots ,r_{n})\otimes (a_{1}a_{2}\cdots a_{n})=0.\end{aligned}}}
.
Оскільки
M
n
(
C
)
=
M
n
(
Z
)
⊗
Z
C
{\displaystyle M_{n}(C)=M_{n}(\mathbb {Z} )\otimes _{\mathbb {Z} }C}
і
M
n
(
Z
)
⊂
M
n
(
Q
)
,
{\displaystyle M_{n}(\mathbb {Z} )\subset M_{n}(\mathbb {Q} ),}
то з попереднього випливає, що твердження достатньо довести для матриць із
M
n
(
Q
)
{\displaystyle M_{n}(\mathbb {Q} )}
.
Розглянемо тепер зовнішню алгебру
Λ
(
V
)
{\displaystyle \Lambda (V)}
над векторним простором над
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
розмірності 2n із базисом
e
1
,
e
2
,
.
.
.
,
e
2
n
.
{\displaystyle e_{1},e_{2},...,e_{2n}.}
Підалгебра
Λ
e
(
V
)
{\displaystyle \Lambda _{e}(V)}
цієї алгебри елементами якої є елементи парних компонент у градації
Λ
(
V
)
{\displaystyle \Lambda (V)}
є комутативною.
Нехай
A
1
,
.
.
.
,
A
2
n
{\displaystyle A_{1},...,A_{2n}}
— довільні елементи з
M
n
(
Q
)
{\displaystyle M_{n}(\mathbb {Q} )}
і позначимо
B
=
A
1
⊗
e
1
+
.
.
.
+
A
2
n
⊗
e
2
n
∈
M
n
(
Λ
(
V
)
)
=
M
n
(
Q
)
⊗
Q
Λ
(
V
)
.
{\displaystyle B=A_{1}\otimes e_{1}+...+A_{2n}\otimes e_{2n}\in M_{n}(\Lambda (V))=M_{n}(\mathbb {Q} )\otimes \mathbb {Q} \Lambda (V).}
Тоді
B
2
n
=
S
2
n
(
A
1
,
.
.
.
,
A
2
n
)
⊗
(
e
1
∧
e
2
∧
.
.
.
∧
e
2
n
)
{\displaystyle B_{2n}=S_{2n}(A_{1},...,A_{2n})\otimes (e1\wedge e_{2}\wedge ...\wedge e_{2n})}
і
B
2
=
D
=
∑
[
A
i
,
A
j
]
⊗
e
i
∧
e
j
∈
M
n
(
Λ
e
(
V
)
)
.
{\displaystyle B^{2}=D=\sum [A_{i},A_{j}]\otimes e_{i}\wedge e_{j}\in M_{n}(\Lambda _{e}(V)).}
Також можна записати
D
i
=
B
2
i
=
∑
S
2
i
(
A
j
1
,
.
.
.
,
A
j
2
k
)
⊗
e
j
1
∧
.
.
.
∧
e
j
2
k
∈
M
n
(
Λ
e
(
V
)
)
,
i
⩽
n
.
{\displaystyle D^{i}=B^{2i}=\sum S_{2i}(A_{j_{1}},...,A_{j_{2k}})\otimes e_{j_{1}}\wedge ...\wedge e_{j_{2k}}\in M_{n}(\Lambda _{e}(V)),\ i\leqslant n.}
Для стандартних многочленів виконуються рівності
S
2
i
(
x
1
,
.
.
.
,
x
2
i
)
=
x
1
S
2
i
−
1
(
x
2
,
.
.
.
,
x
2
i
)
−
x
2
S
2
i
−
1
(
x
1
,
x
3
,
.
.
.
,
x
2
i
)
+
.
.
.
−
x
2
i
S
2
i
−
1
(
x
1
,
.
.
.
,
x
2
i
−
1
)
=
=
−
S
2
i
−
1
(
x
2
,
.
.
.
,
x
2
i
)
x
1
+
S
2
i
−
1
(
x
1
,
x
3
,
.
.
.
,
x
2
i
)
x
2
+
.
.
.
+
S
2
i
−
1
(
x
1
,
.
.
.
,
x
2
i
−
1
)
x
2
i
.
{\displaystyle {\begin{aligned}S_{2i}(x_{1},...,x_{2i})&=x_{1}S_{2i-1}(x_{2},...,x_{2i})-x_{2}S_{2i-1}(x_{1},x_{3},...,x_{2i})+...-x_{2i}S_{2i-1}(x_{1},...,x_{2i-1})=\\&=-S_{2i-1}(x_{2},...,x_{2i})x_{1}+S_{2i-1}(x_{1},x_{3},...,x_{2i})x_{2}+...+S_{2i-1}(x_{1},...,x_{2i-1})x_{2i}.\end{aligned}}}
Звідси можна записати:
S
2
i
(
x
1
,
.
.
.
,
x
2
i
)
=
1
2
∑
k
=
1
2
i
[
x
k
,
S
2
i
−
1
(
x
1
,
.
.
.
,
x
k
^
,
.
.
.
,
x
2
i
)
]
.
{\displaystyle S_{2i}(x_{1},...,x_{2i})={1 \over 2}\sum _{k=1}^{2i}\left[x_{k},S_{2i-1}(x_{1},...,{\hat {x_{k}}},...,x_{2i})\right].}
Отож кожен доданок у виразі для матриць
D
i
{\displaystyle D^{i}}
можна записати як комутатор двох матриць. З огляду на те, що слід комутатора двох матриць дорівнює нулю, то сліди всіх цих доданків, а тому і сліди всіх матриць
D
i
,
1
⩽
i
⩽
n
{\displaystyle D^{i},\;\;1\leqslant i\leqslant n}
є рівними нулю. Згідно леми тоді також
D
n
=
B
2
n
=
0
{\displaystyle D^{n}=B^{2n}=0}
і звідси
S
2
n
(
A
1
,
A
2
,
.
.
.
,
A
2
n
)
=
0.
{\displaystyle S_{2n}(A_{1},A_{2},...,A_{2n})=0.}
Amitsur, A. S.; Levitzki, Jakob (1950), Minimal identities for algebras (PDF) , Proceedings of the American Mathematical Society]] , 1 : 449—463, doi :10.1090/S0002-9939-1950-0036751-9 , ISSN 0002-9939 , JSTOR 2032312 , MR 0036751
Amitsur, A. S.; Levitzki, Jakob (1951), Remarks on Minimal identities for algebras (PDF) , Proceedings of the American Mathematical Society , 2 : 320—327, doi :10.2307/2032509 , ISSN 0002-9939 , JSTOR 2032509
Drensky, Vesselin; Formanek, Edward (2004), Polynomial Identity Rings , Advanced Courses in Mathematics CRM Barcelona, Basel: Birkhäuser, ISBN 978-3-0348-7934-7
Formanek, Edward (1991), The polynomial identities and invariants of n× n matrices , Regional Conference Series in Mathematics, т. 78, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 0-8218-0730-7 , Zbl 0714.16001
Kostant, Bertram (1958), A theorem of Frobenius, a theorem of Amitsur–Levitski and cohomology theory, J. Math. Mech. , 7 : 237—264, doi :10.1512/iumj.1958.7.07019 , MR 0092755
Ю. П. Размыслов. Тождества со следом полных матричных алгебр над полем характеристики нуль // Известия АН СССР. Серия математическая. — 1974. — Т. 38 , вип. 4 . — С. 727 . — ISSN 0373-2436 . — DOI :10.1070/IM1974v008n04ABEH002126 .
Rosset, Shmuel (1976), A new proof of the Amitsur–Levitski identity, Israel Journal of Mathematics , 23 (2): 187—188, doi :10.1007/BF02756797 , ISSN 0021-2172 , MR 0401804
Rowen, Louis Halle (1980), Polynomial identities in ring theory , Pure and Applied Mathematics, т. 84, New York: Academic Press Inc., с. xx+365, ISBN 0-12-599850-3 , MR 0576061
Swan, Richard G. (1963), An application of graph theory to algebra (PDF) , Proceedings of the American Mathematical Society , 14 : 367—373, doi :10.2307/2033801 , ISSN 0002-9939 , JSTOR 2033801 , MR 0149468
Swan, Richard G. (1969), Correction to "An application of graph theory to algebra" (PDF) , Proceedings of the American Mathematical Society , 21 : 379—380, doi :10.2307/2037008 , ISSN 0002-9939 , JSTOR 2037008 , MR 0255439
Procesi, Claudio (2013), On the theorem of Amitsur--Levitzki