Ця стаття потребує істотної переробки. Можливо, її необхідно доповнити, переписати або вікіфікувати. Пояснення причин та обговорення — на сторінці Вікіпедія: Статті, що необхідно поліпшити. Тому, хто додав шаблон: зважте на те, щоб повідомити основних авторів статті про необхідність поліпшення, додавши до їхньої сторінки обговорення такий текст: {{subst:поліпшити автору|Слабке гравітаційне поле|5 квітня 2023}} ~~~~, а також не забудьте описати причину номінації на підсторінці Вікіпедія:Статті, що необхідно поліпшити за відповідний день. (5 квітня 2023)

Рівняння Ейнштейна, виведене із принципів загальної теорії відносності:

${\displaystyle (1)\qquad R_{ij}-{R \over 2}g_{ij}=kT_{ij}}$

є нелінійним диференціальним рівнянням другого порядку щодо невідомих компонент метричного тензора ${\displaystyle g_{ij}}$. Існує практичний інтерес випадок настільки слабкого гравітаційного поля, щоб нелінійностями можна було знехтувати і одержати наближене рівняння, яке близьке до класичного закону Всесвітнього тяжіння, але з релятивістськими поправками. Це наближене рівняння можна застосовувати в межах Сонячної системи і навіть при розгляді галактик — адже типові швидкості зірок в галактиках більш ніж у тисячу разів менші за швидкість світла.

Є ще одна причина розглянути лінеаризоване рівняння (1) - знайти константу ${\displaystyle k}$ при тензорі енергії-імпульсу, яка залишилася невідомою при виводі рівняння Ейнштейна (1).

Нехай ми маємо якийсь розподіл матерії в просторі (який задано компонентами тензора енергії-імпульсу ${\displaystyle T_{ij}}$ як функціями координат). І нехай для цього (базового) розподілу рівняння (1) уже розв'язане, тобто відомий метричний тензор ${\displaystyle g_{ij}}$, а отже і тензор Рімана ${\displaystyle R_{\;ijk}^{s}}$. Поряд з цим базовим розподілом матерії ${\displaystyle T_{ij}}$ розглянемо і дещо змінений розподіл ${\displaystyle {\tilde {T}}_{ij}}$:

${\displaystyle (2)\qquad {\tilde {T}}_{ij}=T_{ij}+\delta T_{ij}}$

який відрізняється від базового на малу величину ${\displaystyle \delta T_{ij}}$. Звичайно, мализну цієї добавки ми визначаємо так, щоб в результаті розв'язку рівняння (1) з новим тензором ${\displaystyle {\tilde {T}}_{ij}}$ ми одержали малу (порівняно з одиницею) зміну метричного тензора:

${\displaystyle (3)\qquad {\tilde {g}}_{ij}=g_{ij}+\delta g_{ij};\qquad {\big |}\delta g_{ij}{\big |}\ll 1}$

Звичайно, за земними мірками тензор ${\displaystyle \delta T_{ij}}$ може бути не таким вже й маленьким — наприклад планетою, зіркою, газовою туманністю, головне щоб зміна метричного тензора ${\displaystyle \delta g_{ij}}$ була малою. Цю зміну ${\displaystyle \delta g_{ij}}$ ми називатимемо варіацією, її ми і будемо шукати (базове рівняння вважається розв'язаним). Із варіації метричного тензора ${\displaystyle \delta g_{ij}}$ можна досить легко одержати варіації символів Крістофеля ${\displaystyle \delta \Gamma _{ij}^{s}}$ і тензора Рімана ${\displaystyle R_{\;ijk}^{s}}$ (подробиці обчислень в статті Допоміжні інтеграли з варіаціями):

${\displaystyle (4)\qquad \delta \Gamma _{ij}^{s}={1 \over 2}g^{sp}\left(\nabla _{i}\delta g_{pj}+\nabla _{j}\delta g_{ip}-\nabla _{p}\delta g_{ij}\right)}$

${\displaystyle (5)\qquad \delta R_{\;ijk}^{s}=\nabla _{j}\delta \Gamma _{ki}^{s}-\nabla _{k}\delta \Gamma _{ji}^{s}}$

Для наших цілей треба обчислити в першу чергу варіацію тензора Річчі ${\displaystyle \delta R_{ij}}$. Згорнемо формулу (5) за індексами ${\displaystyle (sj)}$ і підставимо сюди варіації символів Крістофеля ${\displaystyle \delta \Gamma _{ij}^{s}}$ із формули (4). Зручно також домножити одержану формулу на два, щоб компенсувати коефіцієнт в правій частині (4):

${\displaystyle (6)\qquad 2\delta R_{ik}=2\nabla _{s}\left(\delta \Gamma _{ki}^{s}\right)-2\nabla _{k}\left(\delta \Gamma _{si}^{s}\right)=g^{sp}\nabla _{s}\left(\nabla _{k}\delta g_{pi}+\nabla _{i}\delta g_{kp}-\nabla _{p}\delta g_{ki}\right)-g^{sp}\nabla _{k}\left(\nabla _{s}\delta g_{pi}+\nabla _{i}\delta g_{sp}-\nabla _{p}\delta g_{si}\right)}$

Звернемо увагу на перший і третій доданки в останніх дужках: ${\displaystyle \nabla _{s}\delta g_{pi}}$ і ${\displaystyle -\nabla _{p}\delta g_{si}}$. Вони переходять один в другий (з відповідним знаком) при перестановці індексів ${\displaystyle (p,s)}$. Але вся ця дужка згортається із симетричним тензором ${\displaystyle g^{ps}}$, в результаті згортки ці два доданки взаємо-знищуюються, і ми одержуємо наступну формулу для варіації тензора Річчі (заодно перейменуємо заради естетики індекс ${\displaystyle k}$ на ${\displaystyle j}$):

${\displaystyle (7)\qquad 2\delta R_{ij}=\nabla ^{p}\nabla _{j}\delta g_{pi}+\nabla ^{p}\nabla _{i}\delta g_{pj}-\left(g^{sp}\nabla _{s}\nabla _{p}\right)\delta g_{ij}-\nabla _{j}\nabla _{i}\left(g^{sp}\delta g_{sp}\right)}$

Оператор в третьому доданку - це просто лапласіан ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ (оператор Лапласа — Бельтрамі). Останній доданок є симетричним по індексах ${\displaystyle (ij)}$ як друга похідна скаляра:

${\displaystyle (8)\qquad \nabla _{j}\nabla _{i}\phi =\nabla _{j}\left(\partial _{i}\phi \right)=\partial _{i}\partial _{j}\phi -\Gamma _{ij}^{s}\partial _{s}\phi }$

а перші два доданки переходять один в другий при перестановці індексів ${\displaystyle (ij)}$. Перепишемо формулу (7) ще раз:

${\displaystyle (9)\qquad 2\delta R_{ij}=\nabla ^{p}\nabla _{j}\delta g_{pi}+\nabla ^{p}\nabla _{i}\delta g_{pj}-\nabla ^{2}\delta g_{ij}-\nabla _{i}\nabla _{j}\left(g^{sp}\delta g_{sp}\right)}$

Формула (9) лінійна щодо невідомих варіацій метричного тензора ${\displaystyle \delta g_{ij}}$, але надто громіздка. Сюди входять різнородні другі похідні, до того ж компоненти невідомих ${\displaystyle \delta g_{ij}}$ перемішані. Очевидно, ця ж неприємність залишиться, якщо ми будемо обчислювати варіацію від тензора Ейнштейна:

${\displaystyle (10)\qquad G_{ij}=R_{ij}-{R \over 2}g_{ij}}$

Допомогти може лінійна заміна невідомих (ми діагоналізуємо лінійні рівняння). В загальному випадку ми вводимо нові невідомі - тензор ${\displaystyle h_{ij}}$, через який виражаються варіації метричного тензора:

${\displaystyle (11)\qquad \delta g_{ij}=a_{ij}^{kl}h_{kl}}$

Що робити далі, підходи відрізняються для математика і фізика. Математик підставить (11) в лінеаризоване рівняння Ейнштейна, і шукатиме зв'язки на постійні коефіцієнти ${\displaystyle a_{ij}^{kl}}$, при яких лінеаризоване рівняння Ейнштейна спроститься. Фізик же може скористатися міркуваннями симетрії та інтуїцією, щоб відгадати вид найкращої заміни змінних. Дійсно, оскільки рівняння Ейнштейна тензорне, то і коефіцієнти (11) мають бути тензорами. Просто якийсь довільний тензор зі сторони може тільки ускладнити задачу. Тому розглянемо в першу чергу такі коефіцієнти ${\displaystyle a_{ij}^{kl}}$, які залежать тільки від метричного тензора ${\displaystyle g_{ij}}$. І навіть конкретніше, спробуємо заміну, аналогічну тому, як в формулі (10) тензор Ейнштейна ${\displaystyle G_{ij}}$ залежить від тензора Річчі ${\displaystyle R_{ij}}$. Отже, нехай:

${\displaystyle (12)\qquad \delta g_{ij}=h_{ij}-{h \over 2}g_{ij};\qquad h=g^{ij}h_{ij}}$

Ця заміна оборотна, і ми можемо виразити ${\displaystyle h_{ij}}$ через ${\displaystyle \delta g_{ij}}$. Для цього знайдемо слід формули (12):

${\displaystyle (13)\qquad g^{ij}\delta g_{ij}=g^{ij}h_{ij}-{h \over 2}g^{ij}g_{ij}=h-2h=-h}$

Тут ми скористалися формулою згортки метричного тензора (дивіться Прості обчислення диференціальної геометрії):

${\displaystyle (14)\qquad g^{ij}g_{ij}=4}$

Із формул (12) і (13) знаходимо:

${\displaystyle (15)\qquad h_{ij}=\delta g_{ij}-{1 \over 2}\left(g^{ps}\delta g_{ps}\right)g_{ij}}$

Підставимо заміну (12) і (13) в перший, другий і четвертий доданок формули (9). Одержуємо:

${\displaystyle (16)\qquad 2\delta R_{ij}=\nabla ^{p}\nabla _{j}h_{pi}-{g_{pi} \over 2}\nabla ^{p}\nabla _{j}h+\nabla ^{p}\nabla _{i}h_{pj}-{g_{pj} \over 2}\nabla ^{p}\nabla _{i}h-\nabla ^{2}\delta g_{ij}+\nabla _{i}\nabla _{j}h}$

Очевидно, мішана похідна ${\displaystyle \nabla _{i}\nabla _{j}h}$ скорочується, і ми одержуємо рівняння з трьома доданками:

${\displaystyle (17)\qquad 2\delta R_{ij}=\nabla ^{p}\nabla _{j}h_{pi}+\nabla ^{p}\nabla _{i}h_{pj}-\nabla ^{2}\delta g_{ij}}$

Далі, придивимося уважніше до перших двох доданків формули (12). Ми можемо і їх обнулити, якщо дивергенція від ${\displaystyle h_{ij}}$ дорівнюватиме нулю:

${\displaystyle (18)\qquad \nabla ^{j}h_{ij}=0}$

Але чи можемо ми сподіватися на цю рівність? Відповідь ствердна, оскільки в компонент метричного тензора є чотири степені свободи, коли сам многовид чотиривимірного простору-часу і його метрика не змінюються, а міняється тільки система координат. Дійсно, нехай нові координати ${\displaystyle {\hat {x}}^{i}}$ відрізняються від старих на малий вектор ${\displaystyle v^{i}}$:

${\displaystyle (19)\qquad {\hat {x}}^{i}=x^{i}+v^{i};\qquad {\partial {\hat {x}}^{i} \over \partial x^{j}}=\delta _{j}^{i}+{\partial v^{i} \over \partial x^{j}}}$

Деяка точка ${\displaystyle P}$ має координати ${\displaystyle {\hat {x}}^{i}}$ в нових координатах і ${\displaystyle x^{i}+v^{i}}$ в старих. Запишемо квадрат "відстані" від цієї точки до близької точки ${\displaystyle P'}$ в нових і старих координатах:

${\displaystyle (20)\qquad ds^{2}={\hat {g}}_{ij}({\hat {x}})d{\hat {x}}^{i}d{\hat {x}}^{j}=g_{ij}(x+v)dx^{i}dx^{j}}$

Тоді метричні тензори в цих системах координат відрізняються на величину:

${\displaystyle (21)\qquad \delta g'_{ij}={\hat {g}}_{ij}({\hat {x}})-g_{ij}(x)=-\left(\nabla _{i}v_{j}+\nabla _{j}v_{i}\right)}$

Якщо ми до варіації ${\displaystyle \delta g_{ij}}$ в формулі (15) додамо неістотний доданок (21) і візьмемо дивергенцію, то матимемо рівняння для вектора ${\displaystyle v^{i}}$ (чотири диференціальні рівняння з чотирма невідомими):

${\displaystyle (22)\qquad 0=\nabla ^{j}h_{ij}=\nabla ^{j}\left(\delta g_{ij}-{1 \over 2}\left(g^{ps}\delta g_{ps}\right)g_{ij}\right)-\nabla ^{j}\left(\nabla _{i}v_{j}+\nabla _{j}v_{i}\right)+{1 \over 2}\nabla _{i}(2\nabla ^{s}v_{s})}$

Припустмо, що ці рівняння розв'язуються, тоді при варіації метрики ${\displaystyle \delta g_{ij}}$ ми синхронно змінюємо систему координаттаким чином, щоб лінеаризоване рівняння Ейнштейна було найпростішим.

Маючи рівність (18), обчислимо перший доданок (17), записуючи дію комутатора коваріантних похідних на тензор ${\displaystyle h_{ij}}$ через суму згорток (за кожним з двох індексів) цього тензора з тензором Рімана:

${\displaystyle (23)\qquad \nabla ^{p}\nabla _{j}h_{pi}=\left[\nabla ^{p}\nabla _{j}\right]h_{pi}=-R_{j}^{s}h_{si}-R_{sipj}h^{sp}}$

тоді формула (17) запишеться так:

${\displaystyle (24)\qquad 2\delta R_{ij}=-\nabla ^{2}g_{ij}-\left(R_{i}^{s}h_{sj}+R_{j}^{s}h_{si}\right)-2R_{sipj}h^{sp}}$

У цій формулі ми перенесли доданки з кривиною на кінець, оскільки вони звичайно малі у порівнянні з першим доданком. Їх треба враховувати хіба що в задачі визначення траєкторії руху гравітаційні хвилі в гравітаційному полі.

Якщо ми візьмемо за базовий розв'язок плоский простір без матерії:

${\displaystyle (25)\qquad T_{ij}=0;\qquad R_{\;ijk}^{s}=0}$

то одержимо досить просту формулу для варіації тензора Річчі:

${\displaystyle (26)\qquad \delta R_{ij}=-{1 \over 2}\nabla ^{2}\delta g_{ij}}$

Маючи варіацію тензора Річчі (26), і умову ${\displaystyle R_{ijkl}=0}$, знайдемо спочатку варіацію скалярної кривини:

${\displaystyle (27)\qquad \delta R=\delta \left(g^{ij}R_{ij}\right)=g^{ij}\delta R_{ij}={1 \over 2}\nabla ^{2}h}$

Далі шукаємо варіацію тензора Ейнштейна:

${\displaystyle (28)\qquad \delta G_{ij}=\delta R_{ij}-{1 \over 2}\delta \left(g_{ij}R\right)=-{1 \over 2}\nabla ^{2}\delta g_{ij}-{1 \over 2}g_{ij}\left({1 \over 2}\nabla ^{2}h\right)=-{1 \over 2}\nabla ^{2}\left(\delta g_{ij}+{h \over 2}g_{ij}\right)=-{1 \over 2}\nabla ^{2}h_{ij}}$

Таким чином, лінеаризоване рівняння Ейнштейна має такий вигляд:

${\displaystyle (29)\qquad -{1 \over 2}\nabla ^{2}h_{ij}=kT_{ij}}$

Нехай ми маємо статичний розподіл мас у тривимірному просторі:

${\displaystyle (30)\qquad \rho =\rho (x,y,z)}$

Тензор енергії-імпульса приблизно матиме такий вигляд:

${\displaystyle (31)\qquad (T_{ij})={\begin{bmatrix}\rho c^{2}&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}$

оскільки тензор напруг речовини ${\displaystyle \sigma _{ij}}$ набагато менший за величиною за енергію спокою ${\displaystyle \rho c^{2}}$, і ним можна знехтувати.

Система рівнянь (29) є діагональною в декартовій системі координат, і розпадається на 16 незалежних рівнянь, по одному на кожну компоненту ${\displaystyle h_{ij}}$. Маючи на увазі (31), тільки одне з цих рівнянь має ненульову праву частину:

${\displaystyle (32)\qquad -{1 \over 2}\nabla ^{2}h_{00}=kc^{2}\rho }$

Решту п'ятнадцять рівнянь легко розв'язати, вибравши нульовий розв'язок: ${\displaystyle h_{ij}=0}$ коли індекси не дорівнюють нулю одночасно. Тепер матриця шуканого тензора ${\displaystyle h_{ij}}$ матиме вигляд, аналогічний до (31):

${\displaystyle (33)\qquad (h_{ij})={\begin{bmatrix}h_{00}&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}$

Для рівняння (32), з огляду на (30), можна шукати статичний розв'язок:

${\displaystyle (34)\qquad h_{00}=h_{00}(x,y,z)}$

Для цього нам досить пересвідчитися, що система чотирьох рівнянь (18) автоматично задовольняється. Нетривіальне рівняння маємо лише одне із чотирьох, коли ${\displaystyle i=0}$:

${\displaystyle (35)\qquad \nabla ^{j}h_{0j}=\partial _{0}h_{00}-\partial _{1}h_{01}-\partial _{2}h_{02}-\partial _{3}h_{03}=0}$

Перший доданок перетворюється в нуль, оскільки згідно з (34) ${\displaystyle h_{00}}$ не залежить від часу. Решта доданків дорівнюють нулю оскільки ${\displaystyle h_{0i}=0}$ в матриці (33). Чотиривимірний оператор Лапласа в формулі (32) в декартовій системі координат записується як даламберіан:

${\displaystyle (36)\qquad \nabla ^{2}=\Box ={\partial ^{2} \over \left(\partial x^{0}\right)^{2}}-\Delta }$

де грецькою буквою ${\displaystyle \Delta }$ позначено тривимірний оператор Лапласа:

${\displaystyle (37)\qquad \Delta ={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}}$

Оскільки похідна по часовій змінній ${\displaystyle x^{0}}$ від функції (34) дорівнює нулю, то формулу (32) ми можемо записати виключно в тривимірних координатах:

${\displaystyle (38)\qquad {1 \over 2}\Delta h_{00}=kc^{2}\rho }$

Тепер ми можемо порівняти формулу (38) з класичною формулою для гравітаційного потенціалу ${\displaystyle \phi }$:

${\displaystyle (39)\qquad \Delta \phi =4\pi G\rho }$

Величина ${\displaystyle h_{00}}$ і гравітаційний потенціал ${\displaystyle \phi }$ пов'язані між собою через часову компонету метричного тензора:

${\displaystyle (40)\qquad {\tilde {g}}_{00}=1+{2\phi \over c^{2}}}$

${\displaystyle (41)\qquad {\tilde {g}}_{00}=g_{00}+h_{00}-{h \over 2}g_{00}=1+{h_{00} \over 2};\qquad \left(h=g^{ij}h_{ij}=h_{00}\right)}$

звідки отримуємо:

${\displaystyle (42)\qquad {2 \over c^{2}}\phi ={1 \over 2}h_{00}}$

Взявши тривимірний лапласіан ${\displaystyle \Delta }$ від правої і лівої частин рівняння (42), легко знаходимо невідомий раніше коефіцієнт ${\displaystyle k}$ рівняння Ейнштейна:

${\displaystyle (43)\qquad {2 \over c^{2}}4\pi G\rho =kc^{2}\rho }$

${\displaystyle (44)\qquad k={8\pi G \over c^{4}}}$

Формули (42) і (33) дають змогу записати тензор ${\displaystyle h_{ij}}$ через гравітаційний потенціал:

${\displaystyle (45)\qquad h_{00}={4\phi \over c^{2}};\qquad h_{ij}=0\;{\mbox{ if }}(ij)\neq {00}}$

Із формули (12) знаходимо компоненти метричного тензора:

${\displaystyle (46)\qquad g_{00}=g_{00}+h_{00}-{h_{00} \over 2}g_{00}=1+{h_{00} \over 2}=1+{2\phi \over c^{2}}}$

${\displaystyle \qquad {\tilde {g}}_{ii}=g_{ii}+h_{ii}-{h_{00} \over 2}g_{ii}=-1+0-{2\phi \over c^{2}}(-1)=-1+{2\phi \over c^{2}};\qquad i=\{1,2,3\}}$

${\displaystyle \qquad {\tilde {g}}_{ij}=g_{ij}+h_{ij}-{h_{00} \over 2}g_{ij}=0+0-0=0;\qquad i\neq j}$

Ці формули ми можемо записати у вигляді матриці:

${\displaystyle (47)\qquad ({\tilde {g}}_{ij})={\begin{bmatrix}1+{2\phi \over c^{2}}&0&0&0\\0&-1+{2\phi \over c^{2}}&0&0\\0&0&-1+{2\phi \over c^{2}}&0\\0&0&0&-1+{2\phi \over c^{2}}\end{bmatrix}}}$

Оскільки гравітаційний потенціал від'ємний, то з формули (47) слідує, що під дією сили тяжіння плин часу уповільнюється:

${\displaystyle (48)\qquad {\tilde {g}}_{00}<1}$

а простір в такій же пропорції розтягується:

${\displaystyle (49)\qquad {\big |}{\tilde {g}}_{ii}{\big |}>1}$

Із рівняння (29) можна вивести, аналогічно запізнюючим потенціалам в електродинаміці, що гравітаційне поле поширюється не миттєво, а зі швидкістю світла. Більше того, можна одержати рівняння для гравітаційних хвиль. Є ще один цікавий ефект - породження аналога сили Коріоліса внаслідок обертання мас. Тобто, наприклад площина коливань маятника Фуко на полюсі Землі не буде фіксованою щодо віддалених зірок, а повільно обертатиметься (дивіться статтю Обертання інерційної системи відліку). Описані вище ефекти дуже малі і не підтверджені експериментально. Такі експерименти можуть підтвердити або спростувати загальну теорію відносності.

• Sean M. Carroll (2003). Spacetime and Geometry, an Introduction to General Relativity. Pearson. ISBN 978-0805387322.

Ця стаття потребує додаткових посилань на джерела для поліпшення її перевірності. Будь ласка, допоможіть удосконалити цю статтю, додавши посилання на надійні (авторитетні) джерела. Зверніться на сторінку обговорення за поясненнями та допоможіть виправити недоліки. Матеріал без джерел може бути піддано сумніву та вилучено. (червень 2023)