Ця стаття потребує істотної переробки. Можливо, її необхідно доповнити, переписати або вікіфікувати. Пояснення причин та обговорення — на сторінці Вікіпедія: Статті, що необхідно поліпшити. Тому, хто додав шаблон: зважте на те, щоб повідомити основних авторів статті про необхідність поліпшення, додавши до їхньої сторінки обговорення такий текст: {{subst:поліпшити автору|Резольвента алгебричного рівняння|6 квітня 2025}} ~~~~, а також не забудьте описати причину номінації на підсторінці Вікіпедія:Статті, що необхідно поліпшити за відповідний день. (6 квітня 2025)

Резольвента алгебричного рівняння ${\displaystyle \,\!f(x)=0}$ степеня n — алгебричне рівняння ${\displaystyle \,\!g(y)=0}$ з коефіцієнтами, раціонально залежними від коефіцієнтів f(x), таке, що знання коренів цього рівняння дозволяє розв'язати початкове рівняння шляхом розв'язання простіших рівнянь (тобто таких, степені яких не більші ніж n).

Також резольвентою називають раціональний вираз ${\displaystyle \,\!y=y(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$, тобто залежність коренів резольвенти як рівняння (g(y) = 0) від коренів вихідного рівняння.

Розглянемо кубічне рівняння

${\displaystyle \ x^{3}+px+q=0}$

Будемо шукати його розв'язок у вигляді ${\displaystyle \ x=u+v.}$

Отримаємо рівняння

${\displaystyle \ u^{3}+v^{3}+(3uv+p)(u+v)+q=0.}$

Введемо додаткову умову для змінних ${\displaystyle \ 3uv+p=0,}$

В утвореній системі ${\displaystyle {\begin{cases}u^{3}+v^{3}=-q\\u^{3}v^{3}=-{\frac {p^{3}}{27}}\end{cases}}}$ розв'язки ${\displaystyle \ u^{3},v^{3}}$ знайдемо за теоремою Вієта з квадратного рівняння, яке буде резольвентою:

${\displaystyle y^{2}+qy+{\frac {p^{3}}{27}}=0.}$

Розглянемо рівняння 4-го степеня:

${\displaystyle \,\!x^{4}+ax^{2}+bx+c=0}$

Представимо його у вигляді добутку квадратних тричленів:

${\displaystyle \ (x^{2}+px+q_{1})(x^{2}-px+q_{2})=0}$

Перемножимо і прирівняємо коефіцієнти при однакових степенях${\displaystyle \ x}$ . Отримаємо систему:

${\displaystyle {\begin{cases}q_{1}+q_{2}-p^{2}=a\\p(q_{2}-q_{1})=b\\q_{1}q_{2}=c\\\end{cases}}}$

З першого і третього отримаємо:

${\displaystyle \ (q_{2}-q_{1})^{2}=(p^{2}+a)^{2}-4c}$

Підставимо в друге і отримаємо:

${\displaystyle \ p^{2}((p^{2}+a)^{2}-4c)=b^{2}}$

Провівши заміну ${\displaystyle \ y=-p^{2}}$, отримаємо кубічне рівняння відносно ${\displaystyle \ y}$, яке і буде резольвентою:

${\displaystyle \ y^{3}-2ay^{2}+(a^{2}-4c)y+b^{2}=0}$

Корені резольвенти можуть бути отримані за формулою Кардано.

Використаємо теорему Вієта для квадратних рівнянь, щоб пов'язати корені резольвенти ${\displaystyle \,\!y_{1},y_{2},y_{3}}$ з коренями вихідного рівняння ${\displaystyle \,\!x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}$ (які нам треба знайти): Отримаємо одну із систем з 4 алгебричних рівнянь з 4 невідомими, яка легко розв'язується.

${\displaystyle {\begin{cases}y_{1}=(x_{1}+x_{2})(x_{3}+x_{4})\\y_{2}=(x_{1}+x_{3})(x_{2}+x_{4})\\y_{3}=(x_{1}+x_{4})(x_{2}+x_{3})\\x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0\\\end{cases}}}$

або

${\displaystyle {\begin{cases}a-y_{1}=x_{1}x_{2}+x_{3}x_{4}\\a-y_{2}=x_{1}x_{3}+x_{2}x_{4}\\a-y_{3}=x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}\\x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}=c\\\end{cases}}}$

• Резольвента інтегрального рівняння

Ця стаття не містить посилань на джерела. Ви можете допомогти поліпшити цю статтю, додавши посилання на надійні (авторитетні) джерела. Матеріал без джерел може бути піддано сумніву та вилучено. (квітень 2011)