Ця стаття не містить посилань на джерела. Ви можете допомогти поліпшити цю статтю, додавши посилання на надійні (авторитетні) джерела. Матеріал без джерел може бути піддано сумніву та вилучено. (грудень 2023)

Ізольована особлива точка ${\displaystyle z_{0}}$ називається полюсом функції ${\displaystyle f(z)}$, якщо в розкладанні цієї функції в ряд Лорана в проколотому околі точки ${\displaystyle z_{0}}$ головна частина містить скінчене число відмінних від нуля членів, тобто

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{f_{k}}(z-z_{0})^{k}=P(z)+f_{-n}(z-z_{0})^{-n}+\ldots +f_{-1}(z-z_{0})^{-1}}$, де ${\displaystyle P(z)}$ - правильна частина ряду Лорана.

Якщо ${\displaystyle f_{-n}\neq \ 0}$, то ${\displaystyle z_{0}}$ називається полюсом порядку ${\displaystyle n}$. Якщо ${\displaystyle n=1}$, то полюс називається простим.

1. Точка ${\displaystyle z_{0}}$ є полюсом тоді, і тільки тоді, коли ${\displaystyle \lim _{z\to {z_{0}}}f(z)=\infty }$.
2. Точка ${\displaystyle z_{0}}$ є полюсом порядку ${\displaystyle k}$ тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle \lim _{z\to {z_{0}}}f(z)(z-z_{0})^{k-1}=\infty }$, а ${\displaystyle \lim _{z\to {z_{0}}}f(z)(z-z_{0})^{k}\neq \infty }$.
3. Точка ${\displaystyle z_{0}}$ є полюсом порядку ${\displaystyle k}$ тоді і тільки тоді, коли вона є для функції ${\displaystyle F(z)={\frac {1}{f(z)}}}$ нулем порядку ${\displaystyle k}$.

• Нуль (комплексний аналіз)