Нері́вність Ма́ркова у теорії ймовірності дає оцінку ймовірності того, що випадкова величина перевищить за модулем фіксовану додатну константу, в термінах її математичного сподівання. Отримувана оцінка зазвичай досить груба. Проте, вона дозволяє отримати певне уявлення про розподіл, коли він не є явно відомим.
В термінах теорії міри, нерівність Маркова стверджує, що для вимірного простору
з мірою
заданій на ньому, вимірної узагальнено-дійснозначної функції f і t > 0, маємо
![{\displaystyle \mu (\{x\in X:|f(x)|\geq t\})\leq {1 \over t}\int _{X}|f|\,d\mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcc9905d866644c9e611a72fe71c974f0f045c42)
У випадку коли міра простору 1 (тобто, маємо справу з ймовірносним простором), твердження нерівності можна представити: нехай випадкова величина
визначена на ймовірносному просторі
, і її математичне сподівання скінченне. Тоді для a>0
,
де
.
якщо розглянути випадкову величину
, то отримаємо нерівність Чебишева:
![{\displaystyle {\textrm {P}}(|X-{\textrm {E}}(X)|\geq a)\leq {\frac {{\textrm {Var}}(X)}{a^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0b6edb88a63bf0d305c5578dd481a6e1062f6cc)
З означення сподівання:
![{\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8626128bea418679583aad217ce8f1a828934e91)
Однак, X невід'ємна випадкова змінна тому,
![{\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }xf(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e802772586d1f1e7f0c799ea1da5b0024f83b2c)
З цього отримуємо,
![{\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int _{0}^{a}xf(x)\,dx+\int _{a}^{\infty }xf(x)\,dx\geq \int _{a}^{\infty }xf(x)\,dx\geq \int _{a}^{\infty }af(x)\,dx=a\int _{a}^{\infty }f(x)\,dx=a\operatorname {P} (X\geq a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/861508b30dc70991036e3f1408a85052e1ea0c19)
Тепер легко видно, що
![{\displaystyle \operatorname {P} (X\geq a)\leq \operatorname {E} (X)/a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19d0f9acf1ad28c3289e4487c783e3b75cbe0181)
Припустимо, що функція
невід'ємна, оскільки у рівнянні з'являються лише абсолютні значення. Тепер, розглянемо дійснозначиму функцію
на
задану через
![{\displaystyle s(x)={\begin{cases}\varepsilon ,&f(x)\geq \varepsilon \\0,&f(x)<\varepsilon \end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a95c69b34db9f37f4f10b6b4c1385a9dc754975b)
Тоді
. Згідно з визначенням інтеграла Лебега
![{\displaystyle \int _{X}f(x)\,d\mu \geq \int _{X}s(x)\,d\mu =\varepsilon \mu (\{x\in X:\,f(x)\geq \varepsilon \})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd8c1200dc154d5a47269fe49804d64905be77f1)
і, з того, що
, обидві сторони можна поділити на
, отримуючи
![{\displaystyle \mu (\{x\in X:\,f(x)\geq \varepsilon \})\leq {1 \over \varepsilon }\int _{X}f\,d\mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/729ec03ac6c2fc7fc0c6d2acf2ca45a7ea527247)
Хай
— невід'ємна випадкова величина. Тоді, узявши
, отримаємо
.