Закон Гука
Названо на честь	Роберт Гук
Головний предмет твору	пружина
Формула	${\displaystyle F=k\Delta l}$
Позначення у формулі	${\displaystyle F}$, ${\displaystyle k}$ і ${\displaystyle \Delta l}$
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика
Закон Гука у Вікісховищі

Закон Гука встановлює лінійну залежність між деформаціями та механічними напруженнями. Назву отримав на честь відкривача, англійського фізика XVII століття Роберта Гука. Закон Гука справедливий для малих пружних деформацій.

У своїй найпростішій формі закон Гука записується для визначення деформації довгого тонкого стрижня або пружини.

Для розтягу/стискання закон записується як:

${\displaystyle F=-k\Delta x}$,

де F — сила, k — коефіцієнт жорсткості, ${\displaystyle \Delta x}$ — видовження. Знак мінус показує, що сила напрямлена у протилежний бік до деформації. У цій формулі коефіцієнт жорсткості — це властивість стрижня, а не матеріалу, з якого він виготовлений. Він залежить від матеріалу, але також залежить від довжини стрижня, площі його перерізу, і, якщо мова йде про пружину, від її форми (діаметру і відстані між витками).

Порівняння діаграми деформування для металу і крихкого матеріалу. Закон Гука відповідає прямій лінії, що підіймається з початку графіку

Коефіцієнт жорсткості стрижня довжиною ${\displaystyle l_{0}}$ і площею перерізу ${\displaystyle S}$ пов'язаний з модулем Юнга ${\displaystyle E}$ як^[1]:

${\displaystyle k={\frac {E\cdot S}{l_{0}}}}$

Варто зазначити, що межі застосування закону Гука для розтягу і стиску можуть сильно відрізнятися: такі матеріали як дерево витримують значно більші напруження при розтягу, ніж при стиску, у той час як метали або цемент — навпаки^[2].

Закон Гука для зсуву:

${\displaystyle F=\gamma \cdot N\cdot S}$,

де N — модуль зсуву, ${\displaystyle \gamma }$ — кут зсуву, а ${\displaystyle S}$ — площа поперечного перерізу (перпендикулярного напрямку зсуву)^[3].

Інший варіант запису цієї формули^[3]:

${\displaystyle \tau =\gamma N}$,

де ${\displaystyle \tau }$ — дотична напруга

Для кручення, що є особливим видом зсуву, закон Гука записується як^[3]:

${\displaystyle M=G\phi }$,

де ${\displaystyle M}$ — момент сили, ${\displaystyle G}$ — модуль кручення а ${\displaystyle \phi }$ — кут кручення.

Модуль кручення у випадку кручення циліндра радіусом ${\displaystyle r}$ і висотою ${\displaystyle L}$, пов'язаний з модулем зсуву як^[3]:

${\displaystyle G={\frac {\pi Nr^{4}}{2L}}}$

Для згину можна сформулювати наступний аналог закону Гука^[4]:

${\displaystyle {\frac {1}{R}}={\frac {M_{z}}{I_{z}E}}}$,

де ${\displaystyle 1/R}$ — кривина нейтральної осі стрижня, а ${\displaystyle I_{z}}$ — момент інерції стрижня відносно цієї осі.

Можна визначити потенціальну енергію стиснутої або розтягнутої пружини, що підкоряється закону Гука, інтегруючи рівняння ${\displaystyle F=-k\Delta }$ x. Вона буде дорівнювати:

${\displaystyle U={\frac {k\Delta x^{2}}{2}}}$

Аналогічний вигляд мають формули для потенціальної енергії і для інших типів деформації.

Будь-яку деформацію можна розкласти як комбінацію деформацій розтягу-стиску і зсуву, тому закон Гука для тривимірного (складного) напруженого стану у випадку ізотропного матеріалу може бути записаний у вигляді системи рівнянь, що містить три рівняння для деформацій розтягу-стиску:

${\displaystyle {\begin{matrix}\epsilon _{x}={\frac {\sigma _{x}-\nu (\sigma _{y}+\sigma _{z})}{E}}\\\epsilon _{y}={\frac {\sigma _{y}-\nu (\sigma _{z}+\sigma _{x})}{E}}\\\epsilon _{z}={\frac {\sigma _{z}-\nu (\sigma _{x}+\sigma _{y})}{E}}\end{matrix}}}$

де ε — Відносне видовження вздовж осі, ${\displaystyle \nu }$ — коефіцієнт Пуассона, σ — напруження розтягу-стиску, E — модуль Юнга.

І три рівняння для деформацій зсуву:

${\displaystyle {\begin{matrix}\gamma _{xy}={\frac {\tau _{xy}}{G}}\\\gamma _{xz}={\frac {\tau _{xz}}{G}}\\\gamma _{yz}={\frac {\tau _{yz}}{G}}\end{matrix}}}$

де γ — кут зсуву в точці, τ — напруження зсуву в точці, G — модуль зсуву.

У більш компактній формі закон можна сформулювати так: компоненти тензора деформації в даній точці тіла знаходяться в лінійній залежності від компонентів тензора напруження тієї ж точки.

${\displaystyle \sigma _{ik}=\sum _{lm}\lambda _{iklm}\varepsilon _{lm}}$,

де ${\displaystyle \sigma _{ik}}$ — тензор механічних напружень, ${\displaystyle \varepsilon _{lm}}$ — тензор деформації, а ${\displaystyle \lambda _{iklm}}$ — тензор четвертого рангу, який називається тензором модулів пружності і є характеристикою речовини.

Механічним напруженням називають міру внутрішніх сил, що виникають у твердому тілі при його деформації. Чисельно напруження дорівнює відношенню сили, що діє на невелику ділянку всередині тіла, до площі цієї ділянки(таким чином, одиницею вимірювання напруження є паскаль). Напруження має деяке значення у кожній точці всередині тіла, і деякою мірою є подібним до тиску у газах чи рідинах, але, на відміну від тиску, є векторною величиною. У тих межах, де закон Гука виконується, напруження прямо пропорційне відносному видовженню. Коефіцієнт пропорційності між цими величинами не залежить від форми або розмірів об'єкту, а лише від матеріалу, з якого він зроблений. Цей коефіцієнт називається модулем Юнга^[5].

Важливим загальним обмеженням закону Гука є те, що він діє лише у частині діапазону можливих деформацій. Максимальне напруження, при якому він виконується називається границею пропорційності. Варто зазначити, що границя пропорційності нижча від границі пружності, хоча зазвичай ці точки близькі — тобто, існує такий діапазон деформації, при якому зберігається еластичність (тобто, при зніманні напруги тіло повертається до свого початкового стану), але при цьому рівняння зв'язку між видовженням і напруженням стає нелінійним^[6]. Також, треба пам'ятати, що закон Гука порушується не різко, натомість відхилення від нього поступово наростають — таким чином, межа пропорційності може змінюватися в залежності від необхідної точності.

Також, конкретні пружини можуть мати особливості конструкції, через які їх реакція на деформацію не підкоряється закону Гука. Основні типи негуківських пружин^[7]:

1. Пружини зі змінним радіусом — конічні або біконусні (типу пісочного годинника або сочевиці). Напруження в такій пружині зростає швидше ніж розтяг. Хоча у ній також можна виділити невеликий діапазон пропорційного зростання, нелінійність починається при напруженнях у кілька разів нижчих за границі еластичності^[8].
2. Пружини зі змінним кроком — найчастіше така пружина складається з двох або більше частин, кожна з яких має різну відстань між витками. У такому випадку діаграма залежності напруження від розтягу також складається з кількох лінійних ділянок, кожна з яких має свій кут нахилу. Ділянки впорядковані так, що коефіцієнт жорсткості є більшим для більших деформацій. Те ж стосується і випадку, якщо дві неоднакові пружини поєднані послідовно^[7].
3. Переднапружені (попередньо напружені) пружини. Такі пружини є напруженими навіть якщо ніякі зовнішні сили на них не діють. Завдяки цьому графік залежності напруження від розтягу починається не з нуля, а з деякої величини, що визначається попереднім напруженням^[7]. Підтипом таких пружин є пружини постійної сили, попередньо напружені пружини кручення з низьким коефіцієнтом жорсткості, сила пружності яких порівняно слабко змінюється у робочому діапазоні^[9].

Закон Гука ніяк не враховує час, протягом якого була прикладена сила. Тобто, у ідеальному гуківському матеріалі, при постійній прикладеній силі деформація буде завжди лишатися однаковою. В реальності, при постійному напруженні матеріал з часом зазнає невеликих додаткових деформацій. Це явище називається повзучістю. Різні матеріали по різному піддаються таким деформаціям. Метали є не дуже повзучими, а такі матеріали як дерево, бетон, тканини, канати — помітно деформуються з часом. При підвищенні температури і напружень повзучість проявляється і для металів. Для кожного матеріалу існує деяке критичне напруження, при перевищенні якого повзучі деформації з часом ростуть необмежено аж до руйнування^[10].

Для деяких м'яких матеріалів біологічного походження, закон Гука не виконується. Напруження у них може практично не змінюватися при деформації, аж до значних видовжень у 50%. У багатьох біологічних тканинах, таких як судини, після досягнення деякого критичного рівня деформації, напруження починає стрімко зростати, що не дозволяє їм змінювати розміри занадто сильно. А у рідких тканин, таких як слина, такої зміни не відбувається, і напруження залишається сталим^[11].

У твердому тілі існують міжатомні сили двох типів: притягування і відштовхування. Енергія взаємодії у обох випадках швидко зростає, якщо атоми знаходяться дуже близько, і до нуля, якщо вони віддаляються. Проте сили відштовхування спадають швидше, ніж сили притягання. Наприклад, у поширеному простому потенціалі міжатомної взаємодії, потенціалі Морзе, сили притягання і відштовхування спадають експоненціально зі збільшенням відстані, проте експонента для сил відштовхування спадає вдвічі швидше. Це призводить до того, що існує відстань, на якій сума потенціалів притягання і відштовхування набуває мінімального значення, і за відсутності сторонніх сил атоми розміщуються саме на цій відстані один від одного. При розтягуванні тіла, відстань між його атомами збільшується, атоми виходять з положення рівноваги, і їх потенціальна енергія збільшується. Відповідно, між атомами виникає сила, що дорівнює

${\displaystyle F=-{\frac {dU}{dr}}}$

Закон, що описує цю силу є складним, проте, як можна бачити на діаграмі, якщо відносне видовження не перевищує кількох відсотків, графік цієї сили є лінійним. Саме у цій області і застосовується закон Гука^[12].

Наведена вище схема працює у більшості пружних твердих тіл — форма потенціалу взаємодії є подібною для всіх, хоча межі застосування закону Гука і модулі еластичності сильно залежать від конкретного вигляду функції потенціалу. Проте, для еластомерів, таких як гуми, природа еластичності є іншою, ентропійною. Завдяки ентропійним силам вони мають надзвичайно низьку жорсткість і можуть розтягуватися на сотні відсотків без руйнування. При розтягуванні еластомера, робота витрачається на збільшення члену ${\displaystyle TS}$ у формулі вільної енергії, а не на збільшення відстані між атомами^[12].

Невдовзі після відкриття закону Гука він знайшов використання у балансових механізмах годинників, що дозволило зробити їх більш точними і транспортабельними. Також, зв'язок розтягу пружини і сили використовується у багатьох вимірювальних приладах, таких як динамометри і манометри. Також, це рівняння використовується у багатьох галузях механіки, для розрахунку зміни розмірів твердих тіл під навантаженням, наприклад для сейсмостійкого будівництва або ж для врахування акустичних ефектів^[13].

У 1658 році Роберт Гук почав працювати над проблемою збільшення точності годинників за допомогою спіральних пружин^[14]. У 1660 році він сформулював закон, що пов'язував видовження тіла і силу пружності^[15]. У 1676 році він опублікував його у вигляді анаграми, «ceiiinosssttuu», а у 1678 розкрив її рішення — фразу латиною «ut tensio sic vis», що можна перекласти як «сила така, як і видовження». Тоді ж він опублікував «Лекцію про пружини», де в деталях пояснював цей закон^[16]. Цікаво, що у своїх лекціях Гук не зосереджувався лише на пружності твердих тіл, але формулював закони і для пружності рідких тіл і газів.

Результати роботи Гука з годинниками викликали несподівану суперечку. Ймовірно, він винайшов спіраль балансу^[en] ще у 1670 році, на 5 років раніше за Християна Гюйгенса, проте протоколи засідань Королівського товариства, де він розповів про свій винахід, за кілька років до і після 1670-го були втрачені, тому підтвердити цей факт не вдалося. У 20 столітті відповідні документи були знайдені у архіві самого Гука — ймовірно, він вилучив їх невдовзі після виступу, оскільки параноїдально боявся, що його відкриття будуть вкрадені^[17].

У формулюванні самого Гука, закон мав не дуже велику користь, оскільки коефіцієнт жорсткості визначався для конкретного об'єкту, і не міг бути вирахуваним. Лише у 1822 році Огюстен-Луї Коші ввів поняття механічного напруження, що дало загальний підхід до задач обрахування пружних властивостей об'єктів (до того протягом 150 років ця задача була хоча б частково вирішена лише для кількох окремих випадків). Також у 20-х роках завдяки роботам Томаса Юнга і Клода-Луї Нав'є було введене сучасне поняття модуля пружності(модуля Юнга)^[5].

• Пружні сили
• Модулі пружності
• Атом Гука

• Гука закон // Термінологічний словник-довідник з будівництва та архітектури / Р. А. Шмиг, В. М. Боярчук, І. М. Добрянський, В. М. Барабаш ; за заг. ред. Р. А. Шмига. — Львів, 2010. — С. 74. — ISBN 978-966-7407-83-4.
• Опір матеріалів. Підручник /Г. С. Писаренко, О. Л. Квітка, Е. С. Уманський. За ред. Г. С. Писаренка — К.: Вища школа,1993 .- 655 с. ISBN 5-11-004083-5
• Опір матеріалів: Навч. посіб. для студентів ВНЗ. Рекомендовано МОН / Шваб'юк В. І. — К., 2009. — 380 с.
• Мильніков О. В. Опір матеріалів. Конспект лекцій / Олександр Володимирович Мильніков. − Тернопіль: Видавництво ТНТУ, 2010. − 257 с. [Архівовано 20 січня 2022 у Wayback Machine.]

Д. Гордон. Конструкции, или почему не ломаются вещи. — Суми : «МИР», 1980. — 390 с.