Гіпотеза Борсука (задача Борсука) — спростована гіпотеза в комбінаторній геометрії:
- Чи можливо довільне тіло скінченного одиничного діаметра в -вимірному евклідовому просторі розбити на не більш ніж частину так, що діаметр кожної частини буде меншим за 1?
Висунув Кароль Борсук[pl] 1933 року. Відіграла значну роль у розвитку комбінаторної геометрії XX століття: протягом тривалого періоду гіпотезу підтверджено для низки окремих випадків[⇨] та основні зусилля були спрямовані на пошук доведень у загальному випадку, оскільки вагомих сумнівів у її справедливості не виникало[1]. Однак 1993 року знайдено контрприклад[⇨].
Станом на 2023 доведено, що гіпотеза істинна при , і хибна для , статус твердження для залишається нез'ясованим.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/90/HexagonBorsuk.jpg/220px-HexagonBorsuk.jpg)
Сприятливі розв'язки
Випадок очевидний. Випадок довів 1933 року сам Борсук, скориставшись результатом Дюли Пала[hu] 1929 року, згідно з яким будь-яку фігуру діаметра 1 можна помістити в правильний шестикутник ширини 1, а такий шестикутник у свою чергу допускає розрізання на три п'ятикутники діаметра . Крім того, Борсук довів, що -вимірну кулю не можна розділити на частин меншого діаметра, тим самим затвердивши нижню оцінку кількості частин (доведення ґрунтується на теоремі Борсука — Уляма).
1946 року Гадвігер[en] довів справедливість гіпотези при всіх для опуклих тіл із гладкою межею[2].
1947 року Юліан Перкаль[pl] довів випадок для всіх обмежених тіл[3], незалежно від нього 1955 року цей самий результат отримав британський математик Егглстон; просте доведення, подібний до Борсукового, знайшли пізніше Бранко Ґрюнбаумом і Альдар Геппеш; вони довели, що будь-яке тіло діаметра 1 можна помістити у певний октаедр з відсіченими трьома вершинами, який у свою чергу допускає розбиття на 4 частини діаметра менше 0,9888.
Щонайменше від початку 1970-их років гіпотезу підтверджено для центрально-симетричних тіл. 1971 року Клод Роджерс довів гіпотезу для будь-якої множини, інваріантної відносно дії групи перетворень, які залишають на місці правильний -вимірний симплекс.
1993 року Борис Декстер установив справедливість гіпотези для опуклих тіл з поясом із регулярних точок[4], 1995 року він позитивно розв'язав задачу для всіх тіл обертання в довільних розмірностях[5].
Число Борсука
Число Борсука — найменша кількість можливих частин меншого діаметра, на які можна розбити будь-яке обмежене тіло в -вимірному просторі. Паралельно з підтвердженням гіпотези в окремих випадках, покращувалися нижні та верхні оцінки для . Порівняно легко отримані оцінки і . 1983 року Маршалл Лассак з'ясував, що .
Серед асимптотичних верхніх оцінок довгий час найкращою була оцінка Клода Роджерса[en] (1965): ; 1988 року Одед Шрамм[en] показав, що:
- .
Заперечні розв'язки
Заперечний розв'язок задачі в загальному випадку виявили 1993 року Гіль Калаї[en] і Джефф Кан[en][6], які побудували контрприклад у розмірності та довели невиконання гіпотези для всіх . Крім того, вони показали, що для досить великих , існують -вимірні тіла, які не можна розбити на частин меншого діаметра. В наступні роки розмірність, вище від якої гіпотеза не виконується, послідовно знижувалася:
- 1993 — (Калаї — Кан),
- 1994 — (Ніллі),
- 1997 — (Вайсбах — Грей),
- 1997 — (Райгородський)[7],
- 2000 — (Вайсбах),
- 2001 — (Гінрігз),
- 2002 — (Піхурко),
- 2003 — (Гінрігз — Ріхтер)[8],
- 2013 — (Бондаренко)[9],
- 2013 — (Єнріх)[10].
Для побудови контприкладів у всіх випадках використано скінченні множини та тонкі комбінаторні результати[11]. Нижні оцінки для найменшого числа частин меншого діаметра в більшості контрприкладів — , у одному з результатів Райгородського (1999) цю оцінку покращено до .
Варіації та узагальнення
1953 року Девід Ґейл[en] висунув гіпотезу, що будь-яке тіло одиничного діаметра в тривимірному просторі допускає розбиття на 4 частини з діаметром:
- ,
тобто, куля є «найгіршим» у цьому сенсі тілом[12].
1971 року гіпотезу Борсука підтверджено для сферичного та гіперболічного просторів при [13].
1991 року цей результат узагальнено на довільні розмірності для центрально-симетричних опуклих гіперповерхонь[14].
2012 року вивчено аналоги проблеми Борсука у просторі з евклідовою метрикою та з метрикою [15].
2019 року розглянуто питання про розбиття довільних обмежених метричних просторів на задану кількість підмножин меншого діаметра, та виявлено критерії здійсненності та нездійсненності такого розбиття залежно від відстані за метрикою Громова — Гаусдорфа від заданого простору до симплексів заданої потужності, де під симплексом розуміють метричний простір, у якому всі ненульові відстані однакові[16].
Примітки
- ↑ Райгородский, 2006, с. 27.
- ↑ Болтянский — Гохберг, 1965, с. 34.
- ↑ Грюнбаум, 1971, с. 62.
- ↑ B. V. Dekster. The Borsuk conjecture holds for convex bodies with a belt of regular points // Geometriae Dedicata. — 1993. — Т. 45 (2 вересня). — С. 301–306.
- ↑ B. V. Dekster. The Borsuk conjecture holds for bodies of revolution // Journal of Geometry. — 1995. — Т. 52 (2 вересня). — С. 64–73.
- ↑ J. Kahn, G. Kalai. A counterexample to Borsuk’s conjecture // Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.). — 1993. — Vol. 29, no. 1 (2 September). — P. 60—62. — arXiv:math.MG/9307229.
- ↑ А. М. Райгородский. О размерности в проблеме Борсука // УМН. — 1997. — Т. 52, № 6(318) (2 вересня). — С. 181—182.
- ↑ A. Hinrichs, C. Richter. New sets with large Borsuk numbers // Discrete Mathematics. — 2003. — Т. 270 (2 вересня). — С. 137—147. Архівовано з джерела 27 вересня 2007.
- ↑ Andriy V. Bondarenko. On Borsuk’s conjecture for two-distance sets. — 2013. — 2 вересня. — arXiv:1305.2584.
- ↑ Thomas Jenrich. A 64-dimensional two-distance counterexample to Borsuk’s conjecture. — 2013. — 2 вересня. — arXiv:1308.0206.
- ↑ Райгородский, 2006.
- ↑ Райгородский, 2006, с. 16.
- ↑ А. С. Рисслинг. Проблема Борсука в пространствах постоянной кривизны // Украинский геометрический сборник. — Харьков. — Т. 11. — С. 78—83. Архівовано з джерела 9 січня 2021.
- ↑ А. Д. Милка. Аналог проблемы Борсука // Известия вузов. Серия математическая. — 1992. — № 5 (2 вересня). — С. 58—63.
- ↑ А. Б. Купавский, Е. И. Пономаренко, А. М. Райгородский. О некоторых аналогах проблемы Борсука в пространстве // Труды МФТИ. — 2012. — Т. 12, № 1 (2 вересня). — С. 81—90.
- ↑ А. О. Иванов, А. А. Тужилин. Solution to Generalized Borsuk Problem in Terms of the Gromov–Hausdorff Distances to Simplexes. — arXiv:1906.10574v1.
Література
- В. Г. Болтянский, И. Ц. Гохберг. Теоремы и задачи комбинаторной геометрии. — М. : Наука, 1965. — 108 с. — (Математическая библиотечка) (містить доведення гіпотези в розмірностях 2 і 3)
- В. Г. Болтянский, И. Ц. Гохберг. Разбиение фигур на меньшие части/ серия = Популярные лекции по математике, выпуск 50. — М. : Наука, 1971. — 88 с.
- Б. Грюнбаум. Этюды по комбинаторной геометрии и теории выпуклых тел. — М. : Наука, 1971.
- А. М. Райгородский. Проблема Борсука. — М. : МЦНМО, 2006. — 56 с.
- А. Б. Скопенков. -мерный куб, многочлены и решение проблемы Борсука // Математическое просвещение. — М. : МЦНМО, 1999. — Вип. 3 (3) (2 вересня).