У математиці бета-функцією (${\displaystyle \mathrm {B} }$-функцією, бета-функцією Ейлера чи інтегралом Ейлера I роду) називається наступна спеціальна функція від двох змінних:

${\displaystyle \mathrm {\mathrm {B} } (x,y)=\int \limits _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt}$,

визначена при ${\displaystyle \Re (x)>0}$, ${\displaystyle \Re (y)>0}$.

Бета-функція була досліджена Ейлером і Лежандром, а назву їй дав Жак Біне.

Бета-функція симетрична відносно перестановки змінних, тобто

${\displaystyle \mathrm {\mathrm {B} } (x,y)=\mathrm {\mathrm {B} } (y,x)}$.

Бета-функцію можна виразити через інші функції:

${\displaystyle \mathrm {\mathrm {B} } (x,\;y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}}$,

де ${\displaystyle \Gamma (x)}$ — Гамма-функція;

${\displaystyle \mathrm {\mathrm {B} } (x,\;y)=2\int \limits _{0}^{\pi /2}\sin ^{2x-1}\theta \cos ^{2y-1}\theta \,d\theta ,\qquad \Re (x)>0,\ \Re (y)>0}$;

${\displaystyle \mathrm {\mathrm {B} } (x,\;y)=\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}}\,dt,\qquad \Re (x)>0,\ \Re (y)>0}$;

${\displaystyle \mathrm {\mathrm {B} } (x,\;y)={\frac {1}{y}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(y)_{n+1}}{n!(x+n)}}}$,

де ${\displaystyle (x)_{n}}$ — нижній факторіал, рівний ${\displaystyle x\cdot (x-1)\cdot (x-2)\cdot \ldots \cdot (x-n+1)}$.

Подібно тому як гама-функція для цілих чисел є узагальненням факторіала, бета-функція є узагальненням біноміальних коефіцієнтів зі зміненими параметрами:

${\displaystyle \mathrm {C} _{n}^{k}={\frac {1}{(n+1)\mathrm {B} (n-k+1,\;k+1)}}}$.

Частинні похідні у бета-функції наступні:

${\displaystyle {\partial \over \partial x}\mathrm {B} (x,\;y)=\mathrm {B} (x,\;y)\left({\Gamma ^{\prime }(x) \over \Gamma (x)}-{\Gamma ^{\prime }(x+y) \over \Gamma (x+y)}\right)=\mathrm {B} (x,\;y)(\psi (x)-\psi (x+y))}$.

Неповна бета-функція — це узагальнення бета-функції, що заміняє визначений інтеграл невизначеним:

${\displaystyle \mathrm {B} _{x}(a,\;b)=\int \limits _{0}^{x}t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt}$.

При ${\displaystyle x=1}$ неповна бета-функція збігається з повною.

Регуляризована неповна бета-функція визначається через повну і неповну бета-функції:

${\displaystyle I_{x}(a,\;b)={\frac {\mathrm {B} _{x}(a,\;b)}{\mathrm {B} (a,\;b)}}}$.

${\displaystyle I_{0}(a,\;b)=0}$;

${\displaystyle I_{1}(a,\;b)=1}$;

${\displaystyle I_{x}(a,\;b)=1-I_{1-x}(b,\;a)}$.

• Гамма-функція
• Невластивий інтеграл
• Інтеграл Рімана
• Інтегральне числення

• Підкуйко, Сергій (2004). Математичний аналіз — Т.1. Множини. Дійсні числа. Границя послідовності. Границя функції. Неперервність функції. Диференціальне числення функцій однієї змінної. Львів: Галицька видавнича спілка. с. 530. ISBN 966-7893-26-Х. {{cite book}}: Перевірте значення |isbn=: недійсний символ (довідка)
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2025. — 2391 с.(укр.)