Алгоритм Дейкстри

Клас	Алгоритм пошуку
Структура даних	Граф
Найгірша швидкодія	${\displaystyle O(|E|+|V|\log |V|)}$

Алгоритм Дейкстри — алгоритм на графах, відкритий Дейкстрою. Знаходить найкоротший шлях від однієї вершини графу до всіх інших вершин. Класичний алгоритм Дейкстри працює тільки для графів без ребер від'ємної довжини.

Варіант 1. Дана мережа автомобільних доріг, що з'єднують міста Львівської області. Знайти найкоротшу відстань від Львова до кожного міста області, якщо рухатись можна тільки по дорогах.

Варіант 2. Дана карта велосипедних доріжок Латвії та Білорусі. Знайти мінімальну відстань, яку треба проїхати, щоб дістатися від Риги до Бобруйська.

Варіант 3. Є план міста з нанесеними на нього місцями розміщення пожежних частин. Знайти найближчу до кожного дому пожежну станцію.

Дано неорієнтований зв'язний граф G(V, U). Знайти відстань від вершини a до всіх інших вершин V.

Зберігатимемо поточну мінімальну відстань до всіх вершин V (від даної вершини a) і на кожному кроці алгоритму намагатимемося зменшити цю відстань. Спочатку встановимо відстані до всіх вершин рівними нескінченості, а до вершини а — нулю. Розглянемо виконання алгоритму на прикладі. Хай потрібно знайти відстані від 1-ї вершини до всіх інших. Кружечками позначені вершини, лініями — шляхи між ними («дуги»). Над дугами позначена їх «ціна» — довжина шляху. Надписом над кружечком позначена поточна найкоротша відстань до вершини.

Ініціалізація. Відстань до всіх вершин графу V = ${\displaystyle \infty }$. Відстань до а = 0. Жодної вершини графу ще не опрацьовано.

Знаходимо таку вершину (із ще не опрацьованих), поточна найкоротша відстань до якої мінімальна. В нашому випадку це вершина 1. Обходимо всіх її сусідів і, якщо шлях в сусідню вершину через 1 менший за поточний мінімальний шлях в цю сусідню вершину, то запам'ятовуємо цей новий, коротший шлях як поточний найкоротший шлях до сусіда.

Перший по порядку сусід 1-ї вершини — 2-а вершина. Шлях до неї через 1-у вершину дорівнює найкоротшій відстані до 1-ї вершини + довжина дуги між 1-ю та 2-ю вершиною, тобто 0 + 7 = 7. Це менше поточного найкоротшого шляху до 2-ї вершини, тому найкоротший шлях до 2-ї вершини дорівнює 7.

Аналогічну операцію проробляємо з двома іншими сусідами 1-ї вершини — 3-ю та 6-ю.

Всі сусіди вершини 1 перевірені. Поточна мінімальна відстань до вершини 1 вважається остаточною і обговоренню не підлягає (те, що це дійсно так, вперше довів Дейкстра). Тому викреслимо її з графу, щоб відмітити цей факт.

Практично відбувається повернення до кроку 2. Знову знаходимо «найближчу» необроблену (невикреслену) вершину. Це вершина 2 з поточною найкоротшою відстанню до неї = 7. І знову намагаємося зменшити відстань до всіх сусідів 2-ї вершини, намагаючись пройти в них через 2-у. Сусідами 2-ї вершини є 1, 3, 4.

Перший (по порядку) сусід вершини № 2 — 1-ша вершина. Але вона вже оброблена (або викреслена — див. крок 6). Тому з 1-ю вершиною нічого не робимо.

Інший сусід вершини 2 — вершина 4. Якщо йти в неї через 2-у, то шлях буде = найкоротша відстань до 2-ї + відстань між 2-ю і 4-ю вершинами = 7 + 15 = 22. Оскільки 22 < ∞, встановлюємо відстань до вершини № 4 рівним 22.

Ще один сусід вершини 2 — вершина 3. Якщо йти в неї через 2-у, то шлях буде = 7 + 10 = 17. Але 17 більше за відстань, що вже запам'ятали раніше до вершини № 3 і дорівнює 9, тому поточну відстань до 3-ї вершини не міняємо.

Всі сусіди вершини 2 переглянуті, заморожуємо відстань до неї і викреслюємо її з графу.

По вже «відпрацьованій» схемі повторюємо кроки 2 — 6. Тепер «найближчою» виявляється вершина № 3. Після її «обробки» отримаємо такі результати:

Проробляємо те саме з вершинами, що залишилися (№ по порядку: 6, 4 і 5).

Алгоритм закінчує роботу, коли викреслені всі вершини. Результат його роботи видно на останньому малюнку: найкоротший шлях від 1-ї вершини до 2-ї становить 7, до 3-ї — 9, до 4-ї — 20, до 5-ї — 20, до 6-ї — 11 умовних одиниць.

Найпростіша реалізація алгоритму Дейкстри потребує ${\displaystyle O(V^{2})}$ дій. У ній використовується масив відстаней та масив позначок. На початку алгоритму відстані заповнюються великим додатнім числом (більшим максимального можливого шляху в графі), а масив позначок заповнюється нулями. Потім відстань для початкової вершини вважається рівною нулю і запускається основний цикл.

На кожному кроці циклу ми шукаємо вершину з мінімальною відстанню і прапором рівним нулю. Потім ми встановлюємо в ній позначку 1 і перевіряємо всі сусідні з нею вершини. Якщо в ній відстань більша, ніж сума відстані до поточної вершини і довжини ребра, то зменшуємо його. Цикл завершується коли позначки всіх вершин стають рівними 1.

Нехай u — вершина, від якої шукаються відстані, V — множина вершин графу, d_i — відстань від вершини u до вершини i, , w_{(i, j)} — вага «ребра» (i, j).

Алгоритм:

1. Множина вершин U, до яких відстань відома, встановлюється рівною {u}.

2. Якщо U=V, алгоритм завершено.

3. Потенційні відстані D_i до вершин з V\U встановлюються нескінченними.

4. Для всіх ребер (i, j), де i∈U та j∈V\U, якщо D_j>d_i+w_{(i, j)}, то D_j присвоюється d_i+w_{(i, j)}.

5. Шукається i∈V\U, при якому D_i мінімальне.

6. Якщо D_i дорівнює нескінченності, алгоритм завершено. В іншому випадку d_i присвоюється значення D_i, U присвоюється U∪{i} і виконується перехід до кроку 2.

• Задача комівояжера
• Алгоритм пошуку A*

Вікісховище має мультимедійні дані за темою: Алгоритм Дейкстри

• Пояслення алгоритму Дейкстри [Архівовано 9 липня 2021 у Wayback Machine.] на каналі "Computerphile" на YouTube (англ.)
• algolist.manual.ru [Архівовано 5 грудня 2006 у Wayback Machine.]
• Опис, код, анімація на сайті університету Окланда (англ.)
• C. Анисимов. Как построить кратчайший маршрут между двумя точками. [Архівовано 26 листопада 2010 у Wayback Machine.]
• Реализация простейшего варианта алгоритма Дейкстры на e-maxx.ru [Архівовано 20 серпня 2010 у Wayback Machine.]
• Реализация варианта алгоритма Дейкстры для разреженных графов на e-maxx.ru [Архівовано 20 серпня 2010 у Wayback Machine.]
• Реализация на основе очереди с приоритетами на C++ [Архівовано 26 серпня 2010 у Wayback Machine.]
• Реализация на основе очереди с приоритетами на Java [Архівовано 11 лютого 2011 у Wayback Machine.]
• Алгоритм Дейкстри з прикладами - mathros.net.ua

Це незавершена стаття про алгоритми. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.